소수정리의 증명 : part 3-2 Selberg’s formula

일전에 소개한 테렌스 타오의 버즈에 이런 글이 올라왔었다.

” Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe. “
(The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain)
- Jacques Hadamard.

오, 멋있는 말이다. ㅋㅋㅋ 비록 에르디쉬와 셀베르그가 복소수의 강을 건너지 않고 진리에 도달하는 바람에, 아다마르의 저 발언은 약간 무색해지긴 했지만, 복소수를 통하여 여전히 소수정리의 더 짧고 간명한 증명을 제시할 수 있을 뿐더러, 오차항을 계산하는데 있어서는 복소해석학적 접근이 또한 더 강력하다. 그러므로 복소수는 간결한 증명과 더불어 진실에 도달하는 지름길을 제공하고 있음에는 여전히 틀림없다. ㅎㅎㅎ

소수정리를 증명하는 또 다른 한 가지 방법이라 할 수 있는 초등적 증명의 시작은 1948년 셀베르그가 발견한 다음의 공식에서 출발한다. 이 식에서 p, q는 모두 소수이고, 두 번째 합은 가능한 모든 소수의 순서쌍에 대한 합이다.

$\displaystyle \sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)$

책을 못 쓰는 걸로 유명하다는-_- Henryk Iwaniec의 책[1]에 있는 표현을 빌자면 “증명의 심장부에[at the heart of the proof]” 이 공식이 놓여있다. ㅋㅋㅋ

그런데 이 식을 자세히 관찰해보면 이런 생각이 들 수도 있다. 좌변의 두 항은 무게가 비슷하게 보이고, 한 개의 항은 무게가 마치 체비세프 함수에 $\log x$ 를 곱한 것과 비슷해 보인다. 그래서 왠지 결국 소수정리를 함의하게 될 것 같다. ㅋㅋㅋ 아마 에르디쉬가 이 공식을 보고 잽싸게 이렇게 생각한 걸지도 모를 일이다.

여하튼 소수정리의 초등적 증명에서 이 공식을 피해갈 수는 없다. 이 공식을 증명하는 방법에 대해 여러가지 자료를 참조했는데, 다양한 방법을 쉽게 구할 수 있다. 본 내용은 [2], [3], [4]를 주로 참고하여 작성하였다. 그러나 [2], [5]에는 Tatuzawa-Iseki identity[7]를 이용하여 증명이 되어 있다. 어차피 inversion formula를 변형하여 함수를 끼워넣는 작업이므로 궁극적으로 차이가 없지만, 이 방법을 참고해도 좋다.

1. review > Selberg identity
이전 part 3-1에서 Selberg identity를 증명한 바 있다. 그 식은 다음과 같다.

$\displaystyle \Lambda(n)\log n + \sum_{d|n}\Lambda(d)\Lambda\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n}\mu(d)\log^2\frac{n}{d}$

Selberg identity에서 Selberg formular를 어떻게 유도할까? 위 Selberg identity를 자세히 보면 Selberg formula와 매우 닮았다는 것을 알 수 있다. 사실 모든 자연수에 대해 성립하므로 1 부터 n 까지 주르륵 더하면 좌변이 거의 완성이 된다. 우변이 문제인데, 다음과 같은 몇 가지 기교적인 계산이 필요하다.

2. theorem >
다음 등식이 성립한다. 여기서 $\gamma$ 는 Euler-Mascheroni constant이다.

$\displaystyle \sum_{n\le x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma + O\left(\frac{1}{x}\right)$

2-1. proof of theorem 2 >
summation by parts에서 소개한 공식에 $a(n) = u(n)$ , $f(n) = 1/n$ 을 대입하면 다음과 같이 된다.

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n \le x}\frac{1}{n} & =1+\sum_{1<n\le x}\frac{1}{n} \\ & = 1+\frac{[x]}{x}-1+\int_{1}^{x}\frac{[t]}{t^2}dt \\ & =1-\frac{x-[x]}{x}+\int_1^x \frac{dt}{t}-\int_1^x \frac{t-[t]}{t^2}dt \\ & =1+O\left(\frac{1}{x}\right)+\log x-\int_1^x \frac{t-[t]}{t^2}dt \end{aligned}$

마지막 적분을 $[1, \infty]$ 구간에서 $[x, \infty]$ 구간의 차로 표현하면 뒤쪽은 역시 $O(1/x)$ 가 되고, 남은 적분과 1 의 합은 Euler-Mascheroni constant가 된다.

3. theorem > Dirichlet estimate
다음의 등식이 성립한다. 여기서 $\gamma$ 는 마찬가지로 Euler-Mascheroni constant이다.

$\displaystyle \sum_{n\le x}u*u(n)=x\log x + (2\gamma -1)x+O(\sqrt{x})$

3-1. proof of Dirichlet estimate >
part 3-1에서 보았던 Dirichlet’s hyperbola method가 필요한데, $u * u$ 와 $y = \sqrt{x}$ 를 대입하면 다음과 같이 된다.

$\displaystyle \sum_{n\le x}u*u(n)=2\sum_{n\le\sqrt{x}}\left[\frac{x}{n}\right]-[\sqrt{x}]^2$

소수 부분, 즉 floor function과의 차이를 $\alpha_n, \beta_n$ 이라고 하면 다음과 같이 된다.

$\displaystyle 2\sum_{n\le\sqrt{x}}\left(\frac{x}{n}-\alpha_n\right) - (\sqrt{x} - \beta_n)^2 =2x\sum_{n\le\sqrt{x}}\frac{1}{n} + O(\sqrt{x}) - x + 2\beta_n \sqrt{x}- \beta_n^2$

여기에 정리 2의 결과를 대입하여 찌꺼기 텀들은 모조리 Big O에 쓸어담으면 등식을 확인할 수 있다.

4. theorem >
다음의 등식이 성립한다.

$\displaystyle \sum_{n\le x}u*u*u(n) = \frac{1}{2}x\log^2 x+ c_1 x\log x + c_2 x + O(x^{2/3}\log x)$

마찬가지로 정리 3을 이용하여 hyperbola method를 이용하면 된다.

5. theorem >
다음의 등식이 성립한다.

$\displaystyle \sum_{n\le x}\log^2 n =x\log^2 x-2x\log x + 2x + O(\log^2 x)$

5-1. proof of theorem 5 >

$\displaystyle \sum_{n\le x}\log^2 n =\int_1^x \log^2 t dt+O(\log^2 x)$

위와 같이 바꿀 수 있으므로 어렵지 않게 등식을 확인할 수 있다.

6. theorem > Selberg’s formula
다음이 성립한다.

$\displaystyle \sum_{n\le x}\Lambda(n)\log n+\sum_{n\le x}\Lambda*\Lambda(n) = 2x\log x + O(x)$

6-1. proof of theorem 6 >
위에서 소개한 Selberg identity를 주어진 $x$ 이하로 모두 더하면 좌변이 즉시 완성된다. 즉,

$\displaystyle \sum_{n\le x}\Lambda(n)\log n+\sum_{n\le x}\Lambda*\Lambda(n) = \sum_{n\le x}\sum_{d|n}\mu(d)\log^2\frac{n}{d}$

문제는 우변인데 우변을 다음과 같이 바꾸어보자.

$\displaystyle \sum_{n\le x}\left(\sum_{m\le x/n}\log^2 m\right)\mu(n)$ …. (식 1)

$G(x)$ 라는 함수를 생각해 본다.

$\displaystyle G\left(\frac{x}{n}\right)=\sum_{m\le x/n}(2\cdot u*u*u + a\cdot u*u + b\cdot u)(n)$

여기서 상수 $a, b$ 의 값은 나중에 결정된다. 만약 (식 1)의 괄호안의 부분을 $G(x)$ 로 대체한다면 어떻게 되는지 보자.

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n\le x}G\left(\frac{x}{n}\right)\mu(n) & = \sum_{n\le x}(2\cdot u*u*u + a\cdot u*u + b\cdot u)*\mu(n) \\ & =\sum_{n\le x} 2\cdot u*u(n) + a\cdot u(n)+b\cdot 1_{n=1}(n) \\ & =2x\log x + O(x) \end{aligned}$

이렇게 문제가 해결된다. 따라서 핵심적인 부분은 위 $G(x/n)$ 과 (식 1)의 괄호부분과 얼마나 차이가 나느냐 하는 것인데, 이를 상수를 조절하여 해결한다. 즉,

$\displaystyle \sum_{n\le x}\left\{\left(\sum_{m\le x/n}\log^2 m\right)-G\left(\frac{x}{n}\right)\right\}\mu(n)=O(x)$

이렇게 되도록 상수를 조절해보자. 즉, 위의 정리 3,4,5의 estimation을 이용하여

$\begin{array}{lcrl}\displaystyle \sum_{n\le y}\log^2 n & = & \displaystyle y\log^2 y-2y\log y+2y & \displaystyle + O(\log^2 y) \vspace{0.3cm}\\ \displaystyle 2\sum_{n\le y}u*u*u(n) & = & \displaystyle y\log^2 y + 2c_1 y\log y + 2c_2 y & \displaystyle + O(y^{2/3}\log y) \vspace{0.3cm}\\ \displaystyle a\sum_{n\le y}u*u(n) & = & \displaystyle ay\log y+a(2\gamma -1)y & \displaystyle + O(\sqrt{y})\vspace{0.3cm} \\ \displaystyle b\sum_{n\le y}u(n) & = & \displaystyle by & \displaystyle + O(1) \end{array}$

결국 이 항들을 상쇄시키도록 $a = -2-2c_1$ , $b=2-2c_2 - a(2\gamma -1)$ 을 선택하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \sum_{m\le y}\log^2 m - G(y) = O(y^{3/4})$

7. theorem > Other forms of Selberg’s formula
다음 공식들은 모두 동치이다.

$\displaystyle \sum_{n\le x}\Lambda(n)\log n+\sum_{n\le x}\Lambda*\Lambda(n) = 2x\log x + O(x)$ …. (식 2)

$\displaystyle \sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)$ …. (식 3)

$\displaystyle \vartheta(x)\log x + \sum_{p\le x}\vartheta(x/p)\log p = 2x\log x + O(x)$ …. (식 4)

Selberg’s formula는 (식 3)의 형태로 가장 널리 알려진 것 같다. 모든 소수에 대해 더하는지, 자연수에 대해 더하는지에 따라 다양한 책에서 조금씩 변형을 하며 다양한 모습으로 등장한다. 위 식이 모두 동치인지도 별도로 증명이 필요하지만 계산이 그리 복잡하지는 않다. [6]에 좀 자세히 나와있다.

[1] Iwaniec & Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol.53, 2004
[2] Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976
[3] Harold G. Diamond, Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 7, Number 3 (1982), 553-589.
[4] Montgomery and Vaughan, “Multiplicative Number Theory I: Classical Theory”, Cambridge. University Press, 2006
[5] N. Levinson, “A motivated account of an elementary proof of the prime number theorem”, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 225-245.
[6] Melvyn B. Nathanson, “Elementary Methods in Number Theory”, Springer, 2000
[7] Tatuzawa, Tikao, and Iseki Kaneshiro (1951). On Selberg’s elementary proof of the prime number theorem. Proc. Japan Acad. 27: 340-342.

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