소수정리의 증명 : part 3-3-1 the elementary proof of prime number theorem

원래는 Montgomery책[1]에 나오는 증명을 소개하려고 했는데, 본인이 보기에 이 책의 증명에는 피할 수 없는 치명적인 오류가 하나 있다. 이 오류를 회피해서 증명을 완성해보려고 며칠 고민해봤지만, 도저히 완성할 수 없어서 아예 Nathanson책[2]에 있는 내용으로 다시 올리기로 마음을 바꿨다.
일부의 계산을 제외하면 본 포스트에 있는 대부분의 내용이 Nathanson책에 있으므로 본 설명이 부족한 사람은 원서를 참조하기 바란다. 사실 이 책의 내용도 사실 Selberg의 증명[3]을 거의 그대로 옮겨 놓은 것이므로 Selberg의 논문[3]을 직접 읽어도 무방할 것 같다.

0. the error >
참고로 그 오류가 무엇인지 먼저 설명을 한 다음에 본격적인 증명에 들어가도록 하겠다. 아주 간단한 내용인데 다음과 같다. Montgomery책[1]의 증명에는 다음과 같은 암묵적인 가정을 가지고 있다.

충분히 큰 모든 자연수 $n$ 에 대해서 $a_n > 0$ 이라면, 충분히 큰 $x$ 에 대해 $\sum_{n \le x} a_n > 0$ 이 성립한다.

그런데 사실 $\sum a_n$ 이 수렴하고 처음 몇 개의 항이 수렴값으로 커버가 안 될 정도로 에러가 크다면, 충분히 큰 $x$ 에 대해 $\sum_{n \le x} a_n < 0$ 이 성립할 수도 있는 것이다. 따라서 Montgomery책[1]에서 합에 대한 asymptotic formula를 증명하는 과정에서 충분히 큰 값에 대해서 양수임을 증명하는 것만으로는 불충분하다. 이것은 저자의 명백한 오류라고 판단된다.

1. the elementary proof >
이제 Nathanson책[2]에 있는 증명을 따라서 초등적 증명을 해보기로 하겠다. 자 이제 “숫자의 군주(The lord of the numbers)”[4]인 Selberg의 증명속으로 들어가보자.

이제 다음과 같은 함수를 정의하자.

$R(x) = \vartheta(x) - x$

이제 소수정리의 증명 part 1 때문에 증명의 목표는 $R(x) = o(x)$ 가 된다. 다음과 같은 두 개의 조건을 만족하는 양수로 된 두 수열 $\{\delta_m \}_{m=1}^{\infty}$ , $\{u_m \}_{m=1}^{\infty}$ 이 존재함을 증명할 예정이다.

$\lim_{m\to \infty}\delta_m = 0$
$|R(x)| < \delta_m x$ for all $x \ge u_m$

2. lemma >
$x > e$ 일 때, 다음이 성립한다.

$\displaystyle \sum_{p \le x} \frac{\log p}{p \left(1+ \log \frac{x}{p}\right)} \ll \log\log x$

2-1. proof of lemma 2 >
디리클레 정리 part 2에서 보인 Mertens의 정리를 이용하여 다음을 알 수 있다.

$\displaystyle \sum_{\frac{x}{e^j} < p \le \frac{x}{e^{j-1}}}\frac{\log p}{p} = \left(\log \frac{x}{e^{j-1}} + O(1)\right) - \left(\log \frac{x}{e^{j}} + O(1)\right) = O(1)$

그리고 $x/e^j < p \le x/e^{j-1}$ 이면 $j \le 1 +\log x/p < j+1$ 이므로,

$\displaystyle \sum_{\frac{x}{e^j} < p \le \frac{x}{e^{j-1}}} \frac{\log p}{p \left(1+ \log \frac{x}{p}\right)} \le \frac{1}{j} \sum_{\frac{x}{e^j} < p \le \frac{x}{e^{j-1}}}\frac{\log p}{p} \ll \frac{1}{j}$

이 성립한다. 그러므로 결국

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{p \le x} \frac{\log p}{p \left(1+ \log \frac{x}{p}\right)} & = \sum_{j=1}^{[\log x]+1} \sum_{\frac{x}{e^j} < p \le \frac{x}{e^{j-1}}}\frac{\log p}{p \left(1+ \log \frac{x}{p}\right)} \\ & \ll \sum_{j=1}^{[\log x]+1} \frac{1}{j} \\ & \ll \log\log x\end{aligned}$

이 된다.

3. lemma >
$x \ge 1$ 일 때, 다음이 성립한다.

$\displaystyle R(x)\log x = -\sum_{p \le x}R\left(\frac{x}{p}\right)\log p + O(x)$

3-1. proof of lemma 3 >
part 3-2-1에서 소개한 Selberg의 공식들 중 (식 3)에 $\vartheta(x) = x + R(x)$ 를 대입하면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned} 2x\log x + O(x) & = \vartheta(x)\log x + \sum_{p\le x}\log p \;\vartheta\left(\frac{x}{p}\right) \\ & = (x + R(x)\log x + \sum_{p\le x}\log p \left(\frac{x}{p} + R\left(\frac{x}{p}\right)\right) \\ & = x\log x + R(x)\log x + x\sum_{p \le x}\frac{\log p}{p} + \sum_{p \le x}R\left(\frac{x}{p}\right)\log p \end{aligned}$

그래서 Mertens의 정리를 이용하면 원하는 식을 얻을 수 있다.

4. lemma >
$x \ge 1$ 일 때, 다음이 성립한다.

$\displaystyle \vartheta(x)\log x = \sum_{pq \le x}\frac{\log p \log q}{\log pq}\; \vartheta\left(\frac{x}{pq}\right) + O(x\log \log x)$

4-1. proof of lemma 4 >
$p, q, r$ 이 모두 소수라고 할 때, part 3-2-1에서 소개한 (식 4)를 이용하면 다음을 얻을 수 있다.

$\displaystyle \sum_{q\le x/p}\log q + \sum_{qr \le x/p}\frac{\log q \log r}{\log qr} = \frac{2x}{p} + O\left(\frac{x}{p\left(1 + \log \frac{x}{p}\right)}\right)$

Nathanson 책은 이 부분에서 계산을 약간 복잡하게 했는데, 위 식의 양변에 $\log p$ 를 곱해서 $x$ 이하의 소수에 대한 합을 계산하면 (내 생각으로는) 조금 더 쉽게 책과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 즉,

$\displaystyle \sum_{p\le x} \sum_{q\le x/p}\log p \log q + \sum_{p\le x} \sum_{qr \le x/p}\frac{\log p \log q \log r}{\log qr} = 2x \sum_{p\le x}\frac{\log p}{p} + O\left(\sum_{p\le x}\frac{x\log p}{p\left(1 + \log \frac{x}{p}\right)}\right)$

좌변은 Selberg의 공식을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{gathered} \sum_{p\le x} \sum_{q\le x/p}\log p \log q + \sum_{p\le x} \sum_{qr \le x/p}\frac{\log p \log q \log r}{\log qr} \hfill \\ \quad = \sum_{pq \le x}\log p \log q + \sum_{qr \le x}\frac{\log q \log r}{\log qr}\sum_{p\le x/qr}\log p \hfill \\ \quad = 2x\log x - \sum_{p\le x}\log^2 p + O(x) + \sum_{pq \le x}\frac{\log p \log q}{\log pq}\;\vartheta\left(\frac{x}{pq}\right) \hfill\end{gathered}$

우변은 Mertens의 정리와 lemma 1을 이용하여 다음과 같이 정리된다.

$\displaystyle \begin{gathered} 2x \sum_{p\le x}\frac{\log p}{p} + O\left(\sum_{p\le x}\frac{x\log p}{p\left(1 + \log \frac{x}{p}\right)}\right) \\ \quad = 2x\log x + O(x) + O(x\log \log x)\hfill\end{gathered}$

그리하여 다음과 같은 식을 얻는다.

$\displaystyle \sum_{p\le x}\log^2 p = \sum_{pq \le x}\frac{\log p \log q}{\log pq}\;\vartheta\left(\frac{x}{pq}\right) + O(x\log\log x)$

이 식으로부터 즉시 원하는 결과를 얻는다.

5. lemma >

$\displaystyle \sum_{pq \le x}\frac{\log p \log q}{pq\log pq} = \log x + O(\log \log x)$

이건 이 책에서 연습문제로 처리되어 있는데, 본인이 풀어보았다-_- 사실 책에 힌트가 무지 많이 있어서 꽤 쉽다.

5-1. proof of lemma 5 >
연속함수와 수론적 함수를 곱한 값의 합을 계산하는 식은 summation by parts에서 자주 다룬 바 있다. 이 계산을 연타로 활용해 본다. 즉,

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{p\le x}\frac{\log^2 p}{p} & = \sum_{n \le x}\left(\frac{\ell(n)}{n}\right)\log n \\ & = \log x \sum_{n\le x}\frac{\ell(n)}{n} - \int_1^x \sum_{n\le t}\frac{\ell(n)}{n} \frac{dt}{t} \\ & = \log^2 x + O(\log x) - \frac{1}{2}\log^2 x + O(\log x) \\ & = \frac{1}{2}\log^2 x + O(\log x) \end{aligned}$

그리하여,

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n \le x}\frac{\ell * \ell (n)}{n} & = \sum_{pq\le x}\frac{\log p\log q}{pq} \\ & = \sum_{p\le x}\frac{\log p}{p}\sum_{q\le x/p}\frac{\log q}{q} \\ & = \sum_{p\le x}\frac{\log p}{p} \left(\log \frac{x}{p} + O(1)\right) \\ & = \log x\left(\sum_{p \le x}\frac{\log p}{p}\right) - \sum_{p \le x}\frac{\log^2 p}{p} +O\left(\sum_{p\le x}\frac{\log p}{p}\right) \\ & = \log^2 x + O(\log x) - \frac{1}{2}\log^2 x + O(\log x) \\ & = \frac{1}{2}\log^2 x + O(\log x) \end{aligned}$

이므로,

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{pq \le x}\frac{\log p \log q}{pq\log pq} & = \sum_{n \le x} \frac{\ell * \ell (n)}{n \log n} \\ & = \frac{1}{\log x}\sum_{n \le x}\frac{\ell * \ell (n)}{n} + \int_1^x \sum_{n \le t}\frac{\ell * \ell (n)}{n}\frac{dt}{t\log^2 t} \\ & = \frac{1}{2}\log x + O(1) + \frac{1}{2}\log x + O(\log\log x) \end{aligned}$

그래서 원하는 결과를 얻을 수 있다.

여기까지 보면서 생각한건데, 사실 위 여러 계산들은 다음의 asymptotic formula와 비슷하다.

$\displaystyle \sum_{pq \le x}\frac{\log p \log q}{\log pq} = x + o(x)$

그런데 사실 이것만 증명하면 Selberg 공식 때문에 소수정리가 즉시 증명된다. 어째 정답을 얻지 못하고 곁가지를 빙빙도는 듯 한데, 좀 연구를 더 하면 더 간단한 방법을 찾아낼 수 있을 것 같기도 하다.

6. lemma >
$x \ge 1$ 일 때, 다음 부등식이 성립한다.

$\displaystyle |R(x)| \le \frac{1}{\log x}\sum_{n \le x} \left|R\left(\frac{x}{n}\right)\right| + O\left(\frac{x\log\log x}{\log x}\right)$

6-1. proof of lemma 6 >
lemma 4 의 결과에 $R(x)$ 에러텀을 넣으면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned} (x + R(x))\log x & = \sum_{pq \le x}\frac{\log p \log q}{\log pq}\left(\frac{x}{pq} + R\left(\frac{x}{pq}\right)\right)+O(x\log \log x) \\ & = x\sum_{pq\le x}\frac{\log p \log q}{pq \log pq} + \sum_{pq\le x}\frac{\log p \log q}{\log pq} R\left(\frac{x}{pq}\right) +O(x\log \log x) \end{aligned}$

여기서 lemma 5의 결과를 이용하면 다음의 결과를 얻는다.

$\displaystyle R(x)\log x = \sum_{pq\le x}\frac{\log p\log q}{\log pq} R\left(\frac{x}{pq}\right) + O(x\log \log x)$

이 결과와 lemma 3의 결과를 변변 더하면 다음 부등식을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned} 2|R(x)|\log x & \le \sum_{p\le x}\log p \left|R\left(\frac{x}{p}\right)\right| + \sum_{pq\le x}\frac{\log p\log q}{\log pq}\left|R\left(\frac{x}{pq}\right)\right| + O(x\log\log x) \\ & = \sum_{n\le x}\ell(n) \left|R\left(\frac{x}{n}\right)\right| + \sum_{n\le x}\frac{\ell * \ell (n)}{\log n}\left|R\left(\frac{x}{n}\right)\right| + O(x\log\log x) \\ & =\sum_{n\le x}\left(\ell(n) + \frac{\ell * \ell (n)}{\log n}\right)\left|R\left(\frac{x}{n}\right)\right| + O(x\log\log x) \end{aligned}$

포스트가 너무 길어지니 lemma 6의 완성은 다음으로 넘겨야겠다-_- to be continued…

[1] Montgomery and Vaughan, Multiplicative Number Theory I: Classical Theory, Cambridge. University Press, 2006
[2] Melvyn B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, Springer, 2000
[3] Selberg, A. “An Elementary Proof of the Prime Number Theorem”, Ann. Math. 50, 305-313, 1949.
[4] Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), “The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics”, Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649, doi:10.1090/S0273-0979-08-01223-8 Interview with Selberg

About these ads

“소수정리의 증명 : part 3-3-1 the elementary proof of prime number theorem”에 대한 2 생각

미지 님의 말:

2011년 1월 27일 2:20 오후

여기에서 $\displaystyle \sum_{pq\le x}\frac{\ln{p}\ln{q}}{\ln{pq}}=\sum_{n\le x}\frac{\ell * \ell (n)}{\ln{n}}=x+o(x)$ 는 저도 많이 시도해봤지만 잘 안되네요 $\displaystyle \sum_{n\le x}\frac{\ell * \ell (n)}{n\ln{n}}=\left(\sum_{n \le x}\frac{\ell * \ell (n)}{\ln{n}}\right)\frac{1}{x}+\int^{x}_{1}\left(\sum_{n \le t}\frac{\ell * \ell (n)}{\ln{n}}\right)\frac{1}{t^2}dt=\ln{x}+O(x\ln{\ln{x}})$ 를 쓰면 될까요 그냥 $\displaystyle \sum_{pq\le x}\frac{\ln{p}\ln{q}}{\ln{pq}}$ 를 변형하기에는 밑의 lnn때문에 잘 안되 것 같고 $\displaystyle \sum_{pq\le x}\frac{\ln{p}\ln{q}}{\ln{pq}}=\sum_{p \le x}\sum_{q \le \frac{x}{p}}\frac{\ln{p}\ln{q}}{\ln{pq}}$ 로 만들어봐도 잘 안되네요

댓글달기
- zariski 님의 말:
  
  2011년 1월 27일 2:32 오후
  
  ㅎㅎ 저랑 생각이 비슷하시네요. summation by part로 asymptotic formula를 계산할 때, 공식을 거꾸로 거슬러 올라가는 것은 잘 안 되는 것 같습니다.
  
  댓글달기

	zariski on 쌍둥이 소수 추측도 풀렸나?
	munkres on 쌍둥이 소수 추측도 풀렸나?
	zariski on [서평] 닐스의 신기한 여행
	puzzlist on [서평] 닐스의 신기한 여행
	zariski on [서평] 사코와 반제티 : 세계를 뒤흔든 20세기 미국…
	veritaholic on [서평] 사코와 반제티 : 세계를 뒤흔든 20세기 미국…
	zariski on 눈 떨림 현상
	지나가다가 on 눈 떨림 현상

내 백과사전

단타매매 승부사의 덧없는 일상

소수정리의 증명 : part 3-3-1 the elementary proof of prime number theorem

“소수정리의 증명 : part 3-3-1 the elementary proof of prime number theorem”에 대한 2 생각

댓글 남기기 응답 취소

“내 백과사전” 팔로우

Share this:

이것이 좋아요:

“소수정리의 증명 : part 3-3-1 the elementary proof of prime number theorem”에 대한 2 생각

댓글 남기기 응답 취소

“내 백과사전” 팔로우