카테고리 보관물: 정수론

2012 아벨상 – Endre Szemerédi

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올해 아벨상 수상자는 Endre Szemerédi라고 한다. 이 사람의 이름은 익히 들어본 일이 있는데, 바로 Szemerédi’s theorem이다.

본 블로그를 꾸준히 방문하시는 분이라면 Green–Tao theorem를 익히 알고 있을 터인데, 이게 뭐냐하면 소수로 이루어진 임의의 길이의 등차수열이 항상 존재한다는 정리이다. 일전에 소개한 적이 있다.

근데 소수의 density는 소수 정리에 의해서 영이다. 그러면 떠오르는 자연스러운 질문은, density가 영보다 큰 자연수의 부분집합은 임의의 길이의 등차수열을 항상 포함하는가? 하는 것이다.

Szemerédi’s theorem은 이 질문에 긍정적인 대답을 준다. 즉, 아까 한 말을 반복하자면, density가 영보다 큰 자연수의 부분집합은 임의의 길이의 등차수열을 항상 포함한다.

근데 위키피디아를 보니 이 친구 정수론을 연구한다고 안 나와 있다-_- 그런가. 위키에 따르면 combinatorics랑 이론 전산학을 연구한다고 한다. 역시 컴비나토릭스는 헝가리쪽 사람이 강한 듯하다. ㅋㅋ

최악의 연습문제

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쓸데없이 교과서만 많이 썼다는 Serge Lang이라는 친구는 일전에 ‘랑의 대수학책을 사용하는 101가지 방법‘에서 소개한 적이 있다.

뭐 여하간 이 친구의 Complex analysis 책의 439페이지 연습문제에는 다음과 같은 문제가 있다.

  1. (a) Show that \zeta(s) has zeros of order 1 at the even negative integers.

    (b) Show that the only other zeros are such that 0\leq Re(s)\leq 1.

    (c) Prove that the zeros of (b) actually have Re(s)=1/2. [You can ask the professor teaching the course for a hint on that one].

눈채 채신 분도 있겠지만 세 번째 문제는 악명높은 리만가설이다. ㅋㅋ 그것도 아무렇지도 않게 평범한 연습문제 사이에 끼여 있다. 어려우면 교수에게 질문해도 된다면서 풀 수 있는 척 능청을 떠는 저 가증스러운 모습을 보라-_- 내가 이래서 랑 할배를 싫어한다 ㅋㅋ

4 ≤ G(3)

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일전에 포스트한 g(3)=9 의 part 3 증명과정을 다시 읽어보니 마지막 부분이 다 틀렸다-_- 책이 틀린 줄 알고 내 맘대로 증명했는데, 다시 보니 책이 맞고 내가 틀렸던 것이다. 결국 뒷부분을 다시 수정했다. ㅎㅎ

 

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g(3)=9 part 2 : lemma 4

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일전의 part 1에서 40000 이하의 모든 자연수는 아홉 개의 세제곱수의 합으로 표현가능함을 컴퓨터를 통해 확인할 수 있다고 했는데, 실제로 C 프로그램을 짜 봤다.

zariski@zariski-desktop:~/cpp$ cc g3.c
zariski@zariski-desktop:~/cpp$ ./a.out
15, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
22, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1
23, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
50, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1
114, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1
167, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1
175, 4, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1
186, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1
212, 5, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1
231, 5, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1
238, 5, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2
239, 5, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1
303, 6, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1
364, 7, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1
420, 7, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1
428, 7, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1
454, 7, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1
zariski@zariski-desktop:~/cpp$

보시다시피 40000 이하의 모든 자연수를 세제곱수의 합들로 표현했을 때, 최대 개수가 7개를 넘는 것과 10000이상의 수 중 6개를 넘는 것들만 출력해 보았다. 소스코드는 다음과 같다. 뭐 별거 없다ㅋ

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웨어링의 문제

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웨어링의 문제라는게 있다. 이것은 자연수를 거듭제곱들의 합으로 표현하려면 몇 개가 필요한가 하는 문제이다.

예를 들어 모든 자연수를 제곱수들의 합으로 표현하려면 네 개로 충분하다. (Lagrange’s four-square theorem) 이 증명은 포스팅한 블로거가 많으므로 생략한다. 예를 들어 이곳 또는 이곳을 참조하라.

또한 모든 자연수를 세제곱수의 합으로 표현하려면 아홉 개로 충분하다. (Wieferich’s theorem) 그런데 재미있게도 아홉 개의 세제곱수가 필요한 자연수는 사실 23과 239 두 개 뿐이다. 충분히 큰 모든 자연수들은 일곱 개의 세제곱수의 합으로 표현가능하다.

그래서 생겨나는 자연스러운 질문은 필요한 거듭제곱수들의 개수가 두 종류가 있다는 것인데, 전체 자연수를 표현하는데 필요한 거듭제곱수들의 개수와 충분히 큰 자연수들을 표현하는데 필요한 거듭제곱수들의 개수가 다를 수도 있다. 이 두 종류의 개수를 각각 g(n) 과 G(n) 이라고 쓰기로 하자. 즉, 위에 서술한 말을 간단하게 쓰면 g(2) = 4 , g(3) = 9 , G(3) \le 7 이 된다.

그런데 어떤 특수한 n 의 경우 g(n) 이 존재하지 않을 수도 있는가? 그런데 항상 존재한다. 이게 Hilbert–Waring 정리이다.

현재까지 알려진 결과에 의하면 g(2) = 4 , G(2) = 4, g(3) = 9, 4 \le G(3) \le 7 이다. 애석하게도 G(3) 의 정확한 값은 아직 알려져 있지 않다.

소수정리의 증명 : part 3-3-2 the elementary proof of prime number theorem

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Selberg 어르신께서 지난 2007년에 별세한 이후, 2008년에 Bulletin of the American Mathematical Society에 올라온 그의 일대기에 관한 글의 제목은 바로 “숫자의 제왕 The lord of the numbers“[1]이였다. 무슨 판타지 제목-_- 같기도 하지만, 여하간 열라 폼나는 칭호가 아닐 수 없다. 크~~ 앞으로 수학사에서 누가 이런 칭호를 들을 수 있으리오.

지난 part 3-3-1에 이어 증명을 계속해볼까 한다. 다시 말하지만 본 증명은 대부분 Nathanson책[2]에 있는 내용이니 부족하다고 느끼는 분들은 원서를 참조하기 바란다.

 

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