카테고리 보관물: 소수정리

Prime number theorem

최악의 연습문제

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쓸데없이 교과서만 많이 썼다는 Serge Lang이라는 친구는 일전에 ‘랑의 대수학책을 사용하는 101가지 방법‘에서 소개한 적이 있다.

뭐 여하간 이 친구의 Complex analysis 책의 439페이지 연습문제에는 다음과 같은 문제가 있다.

  1. (a) Show that \zeta(s) has zeros of order 1 at the even negative integers.

    (b) Show that the only other zeros are such that 0\leq Re(s)\leq 1.

    (c) Prove that the zeros of (b) actually have Re(s)=1/2. [You can ask the professor teaching the course for a hint on that one].

눈채 채신 분도 있겠지만 세 번째 문제는 악명높은 리만가설이다. ㅋㅋ 그것도 아무렇지도 않게 평범한 연습문제 사이에 끼여 있다. 어려우면 교수에게 질문해도 된다면서 풀 수 있는 척 능청을 떠는 저 가증스러운 모습을 보라-_- 내가 이래서 랑 할배를 싫어한다 ㅋㅋ

소수정리의 증명 : part 3-3-2 the elementary proof of prime number theorem

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Selberg 어르신께서 지난 2007년에 별세한 이후, 2008년에 Bulletin of the American Mathematical Society에 올라온 그의 일대기에 관한 글의 제목은 바로 “숫자의 제왕 The lord of the numbers“[1]이였다. 무슨 판타지 제목-_- 같기도 하지만, 여하간 열라 폼나는 칭호가 아닐 수 없다. 크~~ 앞으로 수학사에서 누가 이런 칭호를 들을 수 있으리오.

지난 part 3-3-1에 이어 증명을 계속해볼까 한다. 다시 말하지만 본 증명은 대부분 Nathanson책[2]에 있는 내용이니 부족하다고 느끼는 분들은 원서를 참조하기 바란다.

 

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소수정리의 증명 : part 3-3-1 the elementary proof of prime number theorem

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원래는 Montgomery책[1]에 나오는 증명을 소개하려고 했는데, 본인이 보기에 이 책의 증명에는 피할 수 없는 치명적인 오류가 하나 있다. 이 오류를 회피해서 증명을 완성해보려고 며칠 고민해봤지만, 도저히 완성할 수 없어서 아예 Nathanson책[2]에 있는 내용으로 다시 올리기로 마음을 바꿨다.
일부의 계산을 제외하면 본 포스트에 있는 대부분의 내용이 Nathanson책에 있으므로 본 설명이 부족한 사람은 원서를 참조하기 바란다. 사실 이 책의 내용도 사실 Selberg의 증명[3]을 거의 그대로 옮겨 놓은 것이므로 Selberg의 논문[3]을 직접 읽어도 무방할 것 같다.

 

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초등적 증명과 해석적 증명의 비교: Siegel–Walfisz 정리

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지금까지 디리클레 정리의 증명을 했는데, 본인이 소개한 내용은 복소 해석학(Complex Analysis)을 전혀 쓰지 않은 일종의 elementary proof라고 할 수 있다. 물론 Dirichlet character가 등장했으므로 복소수 자체가 등장하지 않은 것은 아니다. 그리하여 이러한 증명을 약간 덜 elementary하다고 보는 견해도 있는 모양이다. Selberg는 character조차 쓰지 않은 증명[1]을 하였는데, 그는 이 증명이 ‘더 초등적(more elementary)’이라고 언급하고 있다. (출처 [2] p350)

또한 물론 이 디리클레의 정리를 복소 해석학으로 증명하는 방법 또한 있는데, 당연한 이야기지만 악명높은 제타 함수를 변형한 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)가 등장한다.

이래 증명하든 저래 증명하든 증명만 하면 된다고 생각할 수도 있겠지만, 사실 복소 해석학의 강력한 면은 증명 자체에서 오는 것이 아니라, 그 에러텀의 한계에서 볼 수 있다. 예를 들어, 소수 정리를 살펴보면, 제타 함수의 zero가 없는 영역이 1/2에 가까이 갈 수록 에러텀이 점점 더 좋아진다. 일전에 소수 정리의 증명 part 1에서 \lim\psi(x)/x = 1 이라는 사실과 소수 정리는 동치라는 것을 보였는데, 그 에러텀 \psi(x) - x의 크기가 어디까지 진전되어 있는지, 어느 사이트[3]에 정리되어 있어서 그 내용을 그대로 올려본다. (Big-O 아래쪽의 첨자는 내재된 상수가 그 첨자에 의존한다는 의미임.)

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소수정리의 증명 : part 3-2 Selberg’s formula

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일전에 소개한 테렌스 타오의 버즈에 이런 글이 올라왔었다.

” Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe. “
(The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain)
- Jacques Hadamard.

오, 멋있는 말이다. ㅋㅋㅋ 비록 에르디쉬와 셀베르그가 복소수의 강을 건너지 않고 진리에 도달하는 바람에, 아다마르의 저 발언은 약간 무색해지긴 했지만, 복소수를 통하여 여전히 소수정리의 더 짧고 간명한 증명을 제시할 수 있을 뿐더러, 오차항을 계산하는데 있어서는 복소해석학적 접근이 또한 더 강력하다. 그러므로 복소수는 간결한 증명과 더불어 진실에 도달하는 지름길을 제공하고 있음에는 여전히 틀림없다. ㅎㅎㅎ

 

소수정리를 증명하는 또 다른 한 가지 방법이라 할 수 있는 초등적 증명의 시작은 1948년 셀베르그가 발견한 다음의 공식에서 출발한다. 이 식에서 p, q는 모두 소수이고, 두 번째 합은 가능한 모든 소수의 순서쌍에 대한 합이다.

\displaystyle \sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)

책을 못 쓰는 걸로 유명하다는-_- Henryk Iwaniec의 책[1]에 있는 표현을 빌자면 “증명의 심장부에[at the heart of the proof]” 이 공식이 놓여있다. ㅋㅋㅋ

그런데 이 식을 자세히 관찰해보면 이런 생각이 들 수도 있다. 좌변의 두 항은 무게가 비슷하게 보이고, 한 개의 항은 무게가 마치 체비세프 함수에 \log x 를 곱한 것과 비슷해 보인다. 그래서 왠지 결국 소수정리를 함의하게 될 것 같다. ㅋㅋㅋ 아마 에르디쉬가 이 공식을 보고 잽싸게 이렇게 생각한 걸지도 모를 일이다.

여하튼 소수정리의 초등적 증명에서 이 공식을 피해갈 수는 없다. 이 공식을 증명하는 방법에 대해 여러가지 자료를 참조했는데, 다양한 방법을 쉽게 구할 수 있다. 본 내용은 [2], [3], [4]를 주로 참고하여 작성하였다. 그러나 [2], [5]에는 Tatuzawa-Iseki identity[7]를 이용하여 증명이 되어 있다. 어차피 inversion formula를 변형하여 함수를 끼워넣는 작업이므로 궁극적으로 차이가 없지만, 이 방법을 참고해도 좋다.

 

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소수정리의 증명 : part 2-1 제타함수의 몇 가지 성질

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뭐 이 시리즈 포스팅을 읽는 사람은 없으리라고 생각하지만, 그래도 오기가 생기니 올려본다. -_- 이거 원래 총 세 번의 포스트로 끝내려 했는데, 분량이 너무 많아서 세 번에 안될 것 같다….

주의 : 이 시리즈 포스트의 모든 내용은 각종 서적의 내용을 읽고 독학한 내용이므로 오류를 포함하고 있을 가능성이 있다.

증명에 필요한 각종 제타함수의 성질을 정리해 보았다.

 

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