π(원주율)의 무리수성 증명

이 증명은 Ivan M. Niven의 증명[1]이다. 위키피디아의 관련글도 참고하시라.

 


원주율을 두 정수의 분수식으로 표현가능하다고 가정하자. 즉, \pi = a/b 가 된다.

다음과 같은 다항식을 생각하자.

\displaystyle f(x) = \frac{x^n (a-bx)^n}{n!}

\displaystyle F(x) = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x) - \cdots +(-1)^n f^{(2n)}(x)

양수 n 이 뭔지는 나중에 밝혀진다. n!f(x) 는 정수 계수의 다항식이고 x 에 대해 차수가 2n 을 넘지 않으므로, f(x) 와 그 미분들 f^{(j)}(x)x=0 에서 항상 정수값이 된다. 동시에, x = \pi = a/b 에 대해 f(x) = f(a/b - x) 이다.

간단한 미적분학으로 다음을 알 수 있다.

\displaystyle \frac{d}{dx}\{F'(x)\sin x - F(x)\cos x\} = F''(x)\sin x + F(x)\sin x = f(x)\sin x

\displaystyle \int_0^{\pi} f(x)\sin x dx = [F'(x)\sin x - F(x)\cos x ]_0^{\pi} = F(\pi)+F(0) …. (1)

f^{(j)}(\pi)f^{(j)}(0) 가 모두 정수이므로 F(\pi)+F(0) 도 정수가 된다. 그러나 0 < x < \pi 일 때,

\displaystyle 0 < f(x)\sin x < \frac{\pi^n a^n}{n!}

이므로 식 (1)의 적분도 양수이다. 그러나 충분히 큰 n 에 대해 임의의 크기로 작아질 수 있다. 그러므로 이것은 불가능하다. 따라서 \pi 는 무리수이다.

 


[1] Niven, Ivan (1947), “A simple proof that π is irrational” (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (6), p. 509, doi:10.1090/s0002-9904-1947-08821-2

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