리우빌 근사 정리 Liouville’s Approximation Theorem

이 정리는 나중에 써먹을 일이 있으므로 독립적인 포스트로서 올려본다.

이 내용은 모두 [1]의 내용을 그대로 옮긴 것이다.

 


0. background >
뭐 다들 아시겠지만, 대수적 수(algebraic number)란 유리수 계수를 가지는 다항방정식의 해가 될 수 있는 수를 말한다. 예를 들어서 \sqrt{2} 와 같은 수는 대수적 수가 된다. 마찬가지로 허수 단위 i 도 대수적인 수가 된다. 그러나 원주율 \pi 와 같은 수는 대수적인 수가 안 된다. 대수적 수가 아닌 수는 초월수(transcendental number)라고 부른다.

대수적 수에는 실수와 복소수가 짬뽕되어 있다. 대수적 수 중에서 실수인 수를 대수적 실수(real algebraic number)라고 부르자.

대수적 수의 degree는 그 수를 해로 가지는 다항식의 최소 차수를 가리킨다. \sqrt[3]{2} 의 degree는 3이 된다. 2차 이하의 다항식은 이 수를 해로 가질 수 없다.

1. Theorem > Liouville’s Approximation Theorem
\theta 는 degree가 n \ge 2 인 대수적 실수라고 하자. 그러면 모든 정수 h , k (k > 0 )에 대해 다음 부등식을 만족하는 오직 \theta 에만 의존하는 양수 C(\theta) 가 존재한다.

\displaystyle \left|\theta -\frac{h}{k}\right| > \frac{C(\theta)}{k^n}

1-1. proof of Theorem 1 >
\theta 가 대수적 수이므로 \theta 를 해로 가지는 어떤 다항식 f(x) 가 다음과 같이 존재한다.

\displaystyle f(x) = \sum_{r=0}^{n}a_r x^r

f(x) 은 유리수 위에서 인수분해가 안 된다고 하자. 유리수 위에서 인수분해가 안 되므로 이 다항식은 유리수 해가 없고, 따라서 모든 유리수 h/k 에 대해 f(h/k) \ne 0 가 된다.

이제 평균값의 정리(mean value theorem)를 이용해보자. 다음 식을 만족하는 \thetah/h 사이의 어떤 \xi 가 존재한다.

\displaystyle f\left(\frac{h}{k}\right)=f\left(\frac{h}{k}\right) -f(\theta)=f'(\xi)\left(\frac{h}{k}-\theta\right)

|f'(\xi)| 의 upper bound와 |f(h/k)| 의 lower bound를 찾아내어 원하는 식을 얻는다.

먼저 f(h/k) 를 통분하여 다음을 얻는다.

\displaystyle f\left(\frac{h}{k}\right) = \sum_{r=0}^{n}a_r \left(\frac{h}{k}\right)^r = \frac{N}{k^n}

이때 N 은 영이 아닌 정수이다. 그러므로 다음과 같음을 알 수 있다.

\displaystyle \left|f\left(\frac{h}{k}\right)\right| \ge \frac{1}{k^n}

이로서 lower bound가 완성된다.

|f'(\xi)| 의 upper bound를 얻기 위해 다음과 같이 두자.

\displaystyle d = \left|\theta - \frac{h}{k}\right|

만약 d > 1 이라면, C(\theta) = 1 로 두면서 이미 주어진 식은 완성되므로 끝난다. 그러므로 d < 1 이라 둘 수 있다.(\theta 가 무리수이므로 d \ne 1) 그래서 |\xi - \theta | < 1 이므로 \xi\theta 에서 멀리 떨어지지 않으므로 |f'(\xi)| 의 값은 구간 [\theta -1, \theta+1] 에서 bound 된다. 그 값을 A 라 두면 C(\theta) = 1/(A+1) 라 둘 수 있다.

2. Definition > Liouville Number
모든 자연수 r 에 대해, 다음 부등식을 만족하는 h_r, k_r > 0 이 존재하면 \theta 는 리우빌 수(Liouville Number)라고 부른다.

\displaystyle 0 < \left|\theta-\frac{h_r}{k_r}\right| < \frac{1}{k_r^r}

3. Theorem >
모든 리우빌 수는 초월수이다.

3-1. proof of Theorem 3 >
만약 어떤 리우빌 수 \theta 가 degree n 의 대수적 수라고 하자. 정리 1에 의해 모든 r > 1에 대해 다음 부등식을 만족하는 고정된 상수 C(\theta) 가 있다.

\displaystyle \left|\theta - \frac{h_r}{k_r}\right| > \frac{C(\theta)}{k_r^n}

그러므로 리우빌 수의 정의와 합쳐서 부등식을 만들 수 있다.

\displaystyle 0 < \frac{C(\theta)}{k_r^n}<\frac{1}{k_r^r} 즉, 0 < C(\theta) < \frac{1}{k_r^{r-n}}

r 이 충분히 크면 이 부등식은 모순이 된다.

3-2. example >
다음 수는 리우빌 수 이다.

\displaystyle \theta = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{10^{m!}}

왜냐하면 각 r \ge 1 에 대해 k_r = 10^{r!}, h_r = k_r \sum_{m=1}^{r}\frac{1}{10^{m!}} 라고 두면 다음을 얻는다.

\displaystyle 0 < \theta - \frac{h_r}{k_r} = \sum_{m=r+1}^{\infty}\frac{1}{10^{m!}} \le \frac{1}{10^{(r+1)!}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{10^m} = \frac{10/9}{10^{(r+1)!}}=\frac{1}{k_r^r}\frac{10/9}{10^{r!}}<\frac{1}{k_r^r}

.


2019.8.15
콴타 매거진 New Proof Settles How to Approximate Numbers Like Pi August 14, 2019
뭔가 관련이 있는 듯해 보여서 첨부함-_-

 


[1] Apostol, T. M. “Liouville’s Approximation Theorem.” §7.3 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 146-148, 1997.

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