소수정리의 증명 : part 3-2 Selberg’s formula

일전에 소개한 테렌스 타오의 버즈에 이런 글이 올라왔었다.

” Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe. “
(The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain)
Jacques Hadamard.

오, 멋있는 말이다. ㅋㅋㅋ 비록 에르디쉬셀베르그가 복소수의 강을 건너지 않고 진리에 도달하는 바람에, 아다마르의 저 발언은 약간 무색해지긴 했지만, 복소수를 통하여 여전히 소수정리의 더 짧고 간명한 증명을 제시할 수 있을 뿐더러, 오차항을 계산하는데 있어서는 복소해석학적 접근이 또한 더 강력하다. 그러므로 복소수는 간결한 증명과 더불어 진실에 도달하는 지름길을 제공하고 있음에는 여전히 틀림없다. ㅎㅎㅎ

 


소수정리를 증명하는 또 다른 한 가지 방법이라 할 수 있는 초등적 증명의 시작은 1948년 셀베르그가 발견한 다음의 공식에서 출발한다. 이 식에서 p, q는 모두 소수이고, 두 번째 합은 가능한 모든 소수의 순서쌍에 대한 합이다.

\displaystyle \sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)

책을 못 쓰는 걸로 유명하다는-_- Henryk Iwaniec의 책[1]에 있는 표현을 빌자면 “증명의 심장부에[at the heart of the proof]” 이 공식이 놓여있다. ㅋㅋㅋ

그런데 이 식을 자세히 관찰해보면 이런 생각이 들 수도 있다. 좌변의 두 항은 무게가 비슷하게 보이고, 한 개의 항은 무게가 마치 체비세프 함수\log x 를 곱한 것과 비슷해 보인다. 그래서 왠지 결국 소수정리를 함의하게 될 것 같다. ㅋㅋㅋ 아마 에르디쉬가 이 공식을 보고 잽싸게 이렇게 생각한 걸지도 모를 일이다.

여하튼 소수정리의 초등적 증명에서 이 공식을 피해갈 수는 없다. 이 공식을 증명하는 방법에 대해 여러가지 자료를 참조했는데, 다양한 방법을 쉽게 구할 수 있다. 본 내용은 [2], [3], [4]를 주로 참고하여 작성하였다. 그러나 [2], [5]에는 Tatuzawa-Iseki identity[7]를 이용하여 증명이 되어 있다. 어차피 inversion formula를 변형하여 함수를 끼워넣는 작업이므로 궁극적으로 차이가 없지만, 이 방법을 참고해도 좋다.

 


1. review > Selberg identity
이전 part 3-1에서 Selberg identity를 증명한 바 있다. 그 식은 다음과 같다.

\displaystyle \Lambda(n)\log n + \sum_{d|n}\Lambda(d)\Lambda\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n}\mu(d)\log^2\frac{n}{d}

Selberg identity에서 Selberg formular를 어떻게 유도할까? 위 Selberg identity를 자세히 보면 Selberg formula와 매우 닮았다는 것을 알 수 있다. 사실 모든 자연수에 대해 성립하므로 1 부터 n 까지 주르륵 더하면 좌변이 거의 완성이 된다. 우변이 문제인데, 다음과 같은 몇 가지 기교적인 계산이 필요하다.

2. theorem >
다음 등식이 성립한다. 여기서 \gammaEuler-Mascheroni constant이다.

\displaystyle \sum_{n\le x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma + O\left(\frac{1}{x}\right)

2-1. proof of theorem 2 >
summation by parts에서 소개한 공식에 a(n) = u(n) , f(n) = 1/n 을 대입하면 다음과 같이 된다.

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n \le x}\frac{1}{n} & =1+\sum_{1<n\le x}\frac{1}{n} \\ & = 1+\frac{[x]}{x}-1+\int_{1}^{x}\frac{[t]}{t^2}dt \\ & =1-\frac{x-[x]}{x}+\int_1^x \frac{dt}{t}-\int_1^x \frac{t-[t]}{t^2}dt \\ & =1+O\left(\frac{1}{x}\right)+\log x-\int_1^x \frac{t-[t]}{t^2}dt \end{aligned}

마지막 적분을 [1, \infty] 구간에서 [x, \infty] 구간의 차로 표현하면 뒤쪽은 역시 O(1/x) 가 되고, 남은 적분과 1 의 합은 Euler-Mascheroni constant가 된다.

3. theorem > Dirichlet estimate
다음의 등식이 성립한다. 여기서 \gamma 는 마찬가지로 Euler-Mascheroni constant이다.

\displaystyle \sum_{n\le x}u*u(n)=x\log x + (2\gamma -1)x+O(\sqrt{x})

3-1. proof of Dirichlet estimate >
part 3-1에서 보았던 Dirichlet’s hyperbola method가 필요한데, u * uy = \sqrt{x} 를 대입하면 다음과 같이 된다.

\displaystyle \sum_{n\le x}u*u(n)=2\sum_{n\le\sqrt{x}}\left[\frac{x}{n}\right]-[\sqrt{x}]^2

소수 부분, 즉 floor function과의 차이를 \alpha_n, \beta_n 이라고 하면 다음과 같이 된다.

\displaystyle 2\sum_{n\le\sqrt{x}}\left(\frac{x}{n}-\alpha_n\right) - (\sqrt{x} - \beta_n)^2 =2x\sum_{n\le\sqrt{x}}\frac{1}{n} + O(\sqrt{x}) - x + 2\beta_n \sqrt{x}- \beta_n^2

여기에 정리 2의 결과를 대입하여 찌꺼기 텀들은 모조리 Big O에 쓸어담으면 등식을 확인할 수 있다.

4. theorem >
다음의 등식이 성립한다.

\displaystyle \sum_{n\le x}u*u*u(n) = \frac{1}{2}x\log^2 x+ c_1 x\log x + c_2 x + O(x^{2/3}\log x)

마찬가지로 정리 3을 이용하여 hyperbola method를 이용하면 된다.

5. theorem >
다음의 등식이 성립한다.

\displaystyle \sum_{n\le x}\log^2 n =x\log^2 x-2x\log x + 2x + O(\log^2 x)

5-1. proof of theorem 5 >

\displaystyle \sum_{n\le x}\log^2 n =\int_1^x \log^2 t dt+O(\log^2 x)

위와 같이 바꿀 수 있으므로 어렵지 않게 등식을 확인할 수 있다.

6. theorem > Selberg’s formula
다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{n\le x}\Lambda(n)\log n+\sum_{n\le x}\Lambda*\Lambda(n) = 2x\log x + O(x)

6-1. proof of theorem 6 >
위에서 소개한 Selberg identity를 주어진 x 이하로 모두 더하면 좌변이 즉시 완성된다. 즉,

\displaystyle \sum_{n\le x}\Lambda(n)\log n+\sum_{n\le x}\Lambda*\Lambda(n) = \sum_{n\le x}\sum_{d|n}\mu(d)\log^2\frac{n}{d}

문제는 우변인데 우변을 다음과 같이 바꾸어보자.

\displaystyle \sum_{n\le x}\left(\sum_{m\le x/n}\log^2 m\right)\mu(n) …. (식 1)

G(x) 라는 함수를 생각해 본다.

\displaystyle G\left(\frac{x}{n}\right)=\sum_{m\le x/n}(2\cdot u*u*u + a\cdot u*u + b\cdot u)(n)

여기서 상수 a, b 의 값은 나중에 결정된다. 만약 (식 1)의 괄호안의 부분을 G(x) 로 대체한다면 어떻게 되는지 보자.

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n\le x}G\left(\frac{x}{n}\right)\mu(n) & = \sum_{n\le x}(2\cdot u*u*u + a\cdot u*u + b\cdot u)*\mu(n) \\ & =\sum_{n\le x} 2\cdot u*u(n) + a\cdot u(n)+b\cdot 1_{n=1}(n) \\ & =2x\log x + O(x) \end{aligned}

이렇게 문제가 해결된다. 따라서 핵심적인 부분은 위 G(x/n) 과 (식 1)의 괄호부분과 얼마나 차이가 나느냐 하는 것인데, 이를 상수를 조절하여 해결한다. 즉,

\displaystyle \sum_{n\le x}\left\{\left(\sum_{m\le x/n}\log^2 m\right)-G\left(\frac{x}{n}\right)\right\}\mu(n)=O(x)

이렇게 되도록 상수를 조절해보자. 즉, 위의 정리 3,4,5의 estimation을 이용하여

\begin{array}{lcrl}\displaystyle \sum_{n\le y}\log^2 n & = & \displaystyle y\log^2 y-2y\log y+2y & \displaystyle + O(\log^2 y) \vspace{0.3cm}\\ \displaystyle 2\sum_{n\le y}u*u*u(n) & = & \displaystyle y\log^2 y + 2c_1 y\log y + 2c_2 y & \displaystyle + O(y^{2/3}\log y) \vspace{0.3cm}\\ \displaystyle a\sum_{n\le y}u*u(n) & = & \displaystyle ay\log y+a(2\gamma -1)y & \displaystyle + O(\sqrt{y})\vspace{0.3cm} \\ \displaystyle b\sum_{n\le y}u(n) & = & \displaystyle by & \displaystyle + O(1) \end{array}

결국 이 항들을 상쇄시키도록 a = -2-2c_1 , b=2-2c_2 - a(2\gamma -1) 을 선택하여 다음을 얻는다.

\displaystyle \sum_{m\le y}\log^2 m - G(y) = O(y^{3/4})

7. theorem > Other forms of Selberg’s formula
다음 공식들은 모두 동치이다.

\displaystyle \sum_{n\le x}\Lambda(n)\log n+\sum_{n\le x}\Lambda*\Lambda(n) = 2x\log x + O(x) …. (식 2)

\displaystyle \sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x) …. (식 3)

\displaystyle \vartheta(x)\log x + \sum_{p\le x}\vartheta(x/p)\log p = 2x\log x + O(x) …. (식 4)

Selberg’s formula는 (식 3)의 형태로 가장 널리 알려진 것 같다. 모든 소수에 대해 더하는지, 자연수에 대해 더하는지에 따라 다양한 책에서 조금씩 변형을 하며 다양한 모습으로 등장한다. 위 식이 모두 동치인지도 별도로 증명이 필요하지만, 계산이 그리 복잡하지는 않다. [6]에 좀 자세히 나와있다.

 


[1] Iwaniec & Kowalski, Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol.53, 2004
[2] Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976
[3] Harold G. Diamond, “Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers“, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 7, Number 3 (1982), 553-589.
[4] Montgomery and Vaughan, Multiplicative Number Theory I: Classical Theory, Cambridge. University Press, 2006
[5] N. Levinson, “A motivated account of an elementary proof of the prime number theorem”, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 225-245.
[6] Melvyn B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, Springer, 2000
[7] Tatuzawa, Tikao, and Iseki Kaneshiro (1951). “On Selberg’s elementary proof of the prime number theorem”. Proc. Japan Acad. 27: 340-342.

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