주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여

리만 형님은 수론에 관한 논문을 딱 한 편 썼다. 그것도 8쪽 밖에 안된다.

하지만 그것은 수학의 역사를 영원히 바꾸어 놓았다!!!

역사학에서처럼 정수론의 역사에서도 근세와 현세를 나눌 필요가 있다면, 아마 근세와 현세의 구분은 새로운 시대를 알리는 이 논문이 될 것임에 틀림없다.

1859년 11월에 발표된 그의 논문 ‘주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse)‘는 이후 백년 이상동안 수학자들이 밥벌어 먹고 살 숙제를 내 놓았는데, 악명높은 리만 가설도 이 논문 속에 등장한다. 수학적 배경이 되는 분들은 독일어 원문과 영문 번역판 두 가지를 위키피디아에서 직접 볼 수 있다.

그런데 이 논문은 무슨 내용을 담고 있을까? 본인이 아는데까지만 설명을 해보겠다-_-;;;;;;

아래의 내용은 대부분 리만의 원본 논문의 영문 번역판과 [1]을 근거로 작성함.

 


part 1. Euler product formula
먼저 제타함수를 Euler product formula로 표현하는 것을 설명한다. 이건 뭐 소인수 분해의 유일성에 기초한다.

\displaystyle \zeta(s) = \prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}

part 2. Gamma function
1 부터 주어진 수 까지 차례로 곱하는 팩토리얼을 연속함수로 바꾸면 감마 함수가 되는데, 현대에는 다음과 같은 형태로 알려져 있다.

\displaystyle \Gamma(z) = \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt

그러나 리만은 이와 미묘하게 다르게 다음과 같은 형태로 함수를 정의하고 있다.

\displaystyle \Pi(s) = \int_0^{\infty} x^s e^{-x}dx

이러한 기호와 정의는 통상적인 것은 아니지만, 여기서는 리만의 표기를 그대로 따라가도록 하자. 현대의 Euler’s reflection formula는 리만의 표기에 따르면 다음과 같은 형태가 된다.

\displaystyle \frac{\pi s}{\Pi(s) \Pi(-s)} = \sin \pi s

part 3. Zeta function
먼저 위에 리만이 정의한 감마함수에 xnx 로 치환적분을 해주면 다음과 같이 변한다.

\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-nx}x^{s-1}dx = \frac{\Pi(s-1)}{n^s}

이 식을 모든 자연수에 대해 주르륵 더하면 좌변은 무한 등비급수 합의 공식을 쓸 수 있고 우변에는 제타함수가 나타나게 된다. 즉,

\displaystyle  \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx = \Pi(s-1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \Pi(s-1)\zeta(s) …. (식 1)

이제 복소함수론에서 흔히 등장하는 contour integration을 해보자. 다음과 같은 적분을 생각한다.

\displaystyle  \int \frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x -1}

경로는 양의 무한대에서 실수축을 따라 원점근처까지 왔다가 원점주위를 반시계 방향으로 돌아서 다시 양의 무한대로 나가는 적분이다. 주의할 점은 원점으로 올 때는 argument가 영인데 원점에서 나갈 때는 argument가 2\pi 라는 점이다. 그러므로 위 적분은 세 파트로 쪼개진다.

\displaystyle  \int_{+\infty}^{\delta}\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x -1} + \int_{|s|=\delta}\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x -1} + \int_{\delta}^{+\infty}\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x -1}

가운데 적분은 델타가 영으로 가면 영이 된다. (Re(s) > 1 이면 원점에서 Removable singularity이다.) 양쪽 두 적분은 다음과 같이 정리된다.

\displaystyle  \int_{+\infty}^{+\infty}\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x -1}

\displaystyle  =\lim_{\delta\to 0}\left\{\int_{+\infty}^{\delta}\frac{\exp[(s-1)(\log x-i\pi)]dx}{e^x -1}+\int_{\delta}^{\infty}\frac{\exp[(s-1)(\log x+i\pi)]dx}{e^x - 1}\right\}

\displaystyle = (e^{-i\pi s} - e^{i\pi s})\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}dx}{e^x -1}

근데 이 마지막 적분이 (식 1)의 좌변이므로 대입하면 다음을 얻는다.

\displaystyle  \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx = -2i\sin(\pi s)\Pi(s)\zeta(s)

위에서 소개한 Euler’s reflection formula를 이용하여 정리하면 다음과 같다.

\displaystyle  \zeta(s)=\frac{\Pi(-s)}{2\pi i}\int_{+\infty}^{+\infty}\frac{(-x)^s}{e^x -1}\cdot\frac{dx}{x}

이 식은 감마함수 때문에 s 가 자연수일 때를 제외하면 잘 정의가 된다. 원래 제타함수의 정의는 s 의 실수부가 1보다 크면 잘 정의된다. 이 두 결과를 합치면 1을 제외한 모든 복소수에서 제타함수가 정의되게 된다. 이것이 소위 Analytic continuation이라는 기법이다.

part 4. The functional equation
위 제타함수의 적분형태를 보면 피적분함수가 \pm 2\pi in (n 은 0 또는 자연수) 에서 값이 정의되지 않는다. 그래서 이 singularity 주변을 도는 원과 실수축을 boundary로 갖는 적분영역 D 의 경계를 따라 피적분함수를 적분 하면 Cauchy’s integral theorem를 이용하여 다음이 성립함을 알 수 있다.

\displaystyle  \frac{\Pi(-s)}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{(-x)^s}{e^x -1}\cdot\frac{dx}{x}

근데 제타함수의 적분은 양의 실수축의 위쪽을 따라 왔다가 아래쪽을 따라 나가는 적분이므로 영역 D 를 시계방향으로 적분한다고 볼 수 있다. 이와 동시에 각각의 singularity는 영역의 내부에 있으므로 역시 시계방향의 적분이다. 따라서 통상적인 반시계방향의 적분의 개념으로, 이 적분을 D 의 경계의 각 부분별로 분해하면 다음 식이 된다.

\displaystyle  -\zeta(s)-\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Pi(-s)}{2\pi i}\int_{|x+2\pi in| = \epsilon}\frac{(-x)^s}{e^x -1}\cdot\frac{dx}{x}

우측 적분은 x = \pm2\pi in + y 로 치환하여 Cauchy’s integral formula로 다음과 같이 마무리 해준다.

\displaystyle \frac{\Pi(-s)}{2\pi i}\int_{|y|=\epsilon}\frac{(-2\pi in - y)^s}{e^{2\pi in+y}-1}\frac{dy}{2\pi in+y}

\displaystyle =-\frac{\Pi(-s)}{2\pi i}\int_{|y|=\epsilon}(-2\pi in -y)^{s-1}\cdot\frac{y}{e^y -1}\cdot\frac{dy}{y}

\displaystyle =- \Pi(-s)(-2\pi in)^{s-1}

이 식을 영을 제외한 정수에서 플러스 마이너스 쌍쌍으로 모두 더하면 다음과 같이 된다.

\displaystyle \zeta(s) \displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\Pi(-s)[(-2\pi in)^{s-1}+(2\pi in)^{s-1}]
  \displaystyle = \Pi(-s)(2\pi)^{s-1}[i^{s-1}+(-i)^{s-1}]\sum_{n=1}^{\infty}n^{s-1}

가운데 부분을 다음과 같이 간단하게 만들어 준다.

\displaystyle i^{s-1}+(-i)^{s-1} = \frac{1}{i}[e^{s\log i}-e^{s\log(-i)}]= \frac{1}{i}[e^{s\pi i/2}-e^{-s\pi i/2}]=2\sin\frac{s\pi}{2}

그리하여 다음과 같은 함수방정식이 완성된다.

\displaystyle \zeta(s)=\Pi(-s)(2\pi)^{s-1}2\sin(s\pi/2)\zeta(1-s)

위 논의를 좀 더 엄밀하게 하려면 커다란 외곽의 원을 그려서 영역 D를 만들고 반지름을 무한대로 보내는 약간 번거로운 작업이 필요하다.

이 이후에 위 함수 방정식의 두 번째 증명을 소개하고 있는데, 이 부분은 귀찮으니 넘어가자-_-

part 5. The function \xi(s)
이 이후에 리만은 새로운 함수 \xi(s) 를 소개한다. 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \xi(s) = \Pi(s/2)(s-1)\pi^{-s/2}\zeta(s)

이 함수는 entire function인데, 위 함수방정식을 이 함수로 대체하면 감마함수의 몇 가지 성질에 의해 다음과 같은 간단한 함수방정식으로 바뀐다. (계산 약간 필요함)

\displaystyle \xi(s) = \xi(1-s)

이 이후로\xi(s) 의 무한급수와 무한곱 형태의 전개에 관한 내용이 나오는데, 쓸 수식이 많고 잘 이해 안돼서 패스-_-

part 6. The zeros of \xi(s)
제타함수가 Re(s) > 1 에서 영이 되지 않으므로 이 함수 역시 Re(s) > 1 에서 영이 되지 않고, 동시에 위의 함수 방정식에 의해 값이 대칭적이므로 Re(s) < 0 에서도 영이 되지 않는다. 결국 이 함수가 영이 되는 부분은 복소수의 실수부가 0 과 1 사이에 있어야 한다. 그 다음에 리만은 대충 계산을 해보니 허수부가 0 과 T 사이에 영의 개수는 대략 다음과 같을 것이라고 제시했다.

\displaystyle \frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}

그리고 이 값과의 상대적인 오차는 1/T 정도 될 것이라고 언급한다. 그런데 이 결과는 1905년 von Mangoldt가 증명할 때 까지 46년간 미해결 문제로 남아있었다. 켁.
논문 자체에는 그의 아이디어에 대한 모티베이션이 나오지 않지만 여하튼 그는 당시 적분과 각종 변환식들을 천재적으로 자유자재로 구사했다고 하니, 어떤 방식으로든 계산에 성공했을 가능성도 있다.

그 다음으로 “아마 거의 확실히 영이 되는 값은 모두 실수부가 1/2인 것 같다”는 내용이 나오는데, 이것이 악명높은 리만 가설이다. 1914년 하디는 소위 critical line에 무한히 영점이 많다는 것을 증명했고 지금껏 수많은 진전이 있었지만 아직까지 해결되지 않고 있다.

여기까지가 대충 절반정도인 4페이지 까지에 해당되고, 이후로 이와 같은 방법을 토대로 소수 정리의 증명을 시도한다. 이 이후로는 어려워서 GG -_-

 


[1] Harold M. Edwards, Riemann’s Zeta Function, 2001, Dover Publications

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