residue 문제의 실적분 해결

문제를 풀다가 이런 문제를 봤다.

\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^4 +16}

물론 residue 적분문제인데, 왠지 실적분으로 해결할 수 있지 않을까 싶은 생각이 들어서 도전해봤다.

처음에는 이리저리 치환적분을 쓰려다가 문득 Sophie Germain’s Identity가 생각났다. 즉,

\displaystyle x^4+4y^4 = (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)

그리하여 다음과 같이 변형해봤다.

\displaystyle \frac{1}{x^4 +16}=\frac{1}{(x^2 -2\sqrt{2}x+4)(x^2 +2\sqrt{2}x+4)}

\displaystyle =\frac{-\frac{\sqrt{2}}{32}x+\frac{1}{8}}{x^2 -2\sqrt{2}x+4}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{32}x+\frac{1}{8}}{x^2 +2\sqrt{2}x+4}

이렇게 바꿔놓고 보니 각 분수에서 적분하면 로그가 되도록 상수항만 떼고 나머지 부분은 아크탄젠트로 할 수 있을 듯 한데, 계산이 아 열라 귀찮게 느껴졌다.

근데 Integrator에 때려 넣으니 바로 나오네… 내가 이 삽질을 왜 한거지-_-

 


2014.10.4
a solution to an integral in MATHGARAGE

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