라마누전의 문제 289번 Ramanujan’s nested roots expansion

요즘 라마누잔의 전기[1]를 읽고 있는데, 이 서평은 다음 기회에 써 보기로 하겠다. 99페이지에 라마누잔의 문제 289번이 나와있다. 다음 값을 구하라는 것이다.

\displaystyle \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots}}}

라마누잔이 풀었다는데, 그가 푼 방법은 틀림없이 elementary할 것이므로 나도 한 번 도전을 해 봤다.

 


나의 풀이 :
여러 삽질과 계산 착오 등등 난관이 있었지만, 여하간 다음의 아이디어에 도달하였다.

고정된 k 값이 주어질 때, 다음의 점화식으로 정의된 수열이 있다고 하자.

\displaystyle a_{n+1} = 1+(k-n)\sqrt{a_n}

이 점화식의 일반항 a_n 을 구해서 a_k 를 구한다음, \lim_{k\to\infty}a_k 를 구하면 원하는 결과가 나올 것이다.

점화식이 좀 괴랄해서 일반항을 구하기 어려울 것같만, 점화식을 이렇게 바꿔 써 볼 수 있다.

\displaystyle \left( \frac{a_{n+1} -1}{k-n}\right)^2 = a_n

a_n -1 = b_n 이라고 두면,

\displaystyle b_{n+1}^2 = (b_n +1)(k-n)^2

그러므로 느낌상 b_nn 에 관한 다항식이라면 2차식이 적절해 보인다. (좌변은 4차, 우변도 4차이니까)

그러므로 b_n = pn^2 + qn + r 이라두고 양변을 대입하여 미정계수를 해보면 신기하게 다 맞아들어가면서 미정계수가 된다. (열라 삽질이다-_-) 그리하여 다음을 얻는다.

\displaystyle b_{n} = n^2 - (2k +4)n + k^2 + 4k + 3

그래서 일반항 a_n = (n - k -2)^2 을 얻는다. k 번째 항은 a_k = 4 로서 고정되므로 주어진 문제에서 맨 앞에 1을 보탠식이 4임을 알 수 있다.

\displaystyle 1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots}}} = 4

고로 정답은 3이다.

 


이렇게 삽질해서 풀고 검색해보니 어느 누가 올려 놓은 답[2]은 훨 쉽게 풀었다. 젠장-_-
sr_nroots – 94kb pdf

 


[1] 내 백과사전 [서평] 수학이 나를 불렀다 : 인도의 천재 수학자 라마누잔 2010년 5월 17일
[2] http://fluxionsdividebyzero.com/ …. /sr_nroots.pdf

3 thoughts on “라마누전의 문제 289번 Ramanujan’s nested roots expansion

  1. 저런 삽질 열라 나름 쉽게 풀었다고 했는데 라마누잔 방법 보면…. (물론 저 경우에만) 으헉 왜이리 라마누잔은 천재같냐고 으허허허헣 하는 소리가 나옵니다. (적어도 전 그랬죠.)

    • 삽질하셨다고 생각하셨을지도 모르겠지만,
      제가 보기엔 아주 훌륭하십니다.

      풀리지 않는 문제를 끝까지 고민하시고, 자신만의 방법으로 해결하시는 모습이 존경스럽습니다.

      “라마누잔의 전기”라는 책은 어떤 책인가요?
      시중에서 쉽게 구할 수 있는 책인가요?
      문제들도 수록되어져 있나요..?
      궁금하네요.

      • ㅎㅎ 감사합니다. 라마누전의 전기는 이 책을 가리키는 것입니다. 어렵지 않게 구하실 수 있을 듯 합니다. 문제는 거의 없습니다. 말 그대로 ‘전기’입니다.

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