무한급수의 미묘한 풀이

본인의 지인이 고교문제집에서 본 다음 문제를 풀어보라고 하였다.

\displaystyle \frac{2}{2^2 -1} + \frac{2^2}{2^4 -1} + \frac{2^4}{2^8 -1} + \frac{2^8}{2^{16} -1}+ \cdots

풀 수 있으신지? ㅎㅎㅎ 심심한 사람은 한 번 해보기 바란다.
본인은 여차저차 한참 생각해서 다음과 같이 풀긴 풀었다.

 


급수 자체의 절대수렴성은 비교판정법으로 간단하게 보일 수 있다. 그러므로 그 합을 S 라 하면, 부분분수를 이용해 다음과 같이 변형한다.

\displaystyle 2S = \frac{1}{2-1}+\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{2^2+1}+\frac{1}{2^4-1}+\frac{1}{2^4+1}+ \frac{1}{2^8-1}+\frac{1}{2^8+1} +\cdots

이 식을 원래 식이랑 변변 빼어 분모가 같은 것끼리 계산하면 다음과 같다.

\displaystyle S = \frac{1}{2-1}+\frac{1}{2+1}-\frac{2-1}{2^2-1}+\frac{1}{2^2+1}-\frac{2^2-1}{2^4-1}+\frac{1}{2^4+1} -\frac{2^4-1}{2^8-1}+\frac{1}{2^8+1}- \cdots

그런데 이 급수는 두 개씩 쌍으로 항이 사라진다. 따라서 맨 첫 항만 남고 모두 사라진다. 즉,

\displaystyle S = \frac{1}{2-1} = 1

 

그런데 문제집의 풀이에 아무래도 이렇게 나와있지는 않을 것 같다. 고교생이 납득할만한 풀이를 만드실 수 있으신지? ㅎㅎ

3 thoughts on “무한급수의 미묘한 풀이

    • 헉 그렇군요. 저는 한 번 잘못된 방향으로 계산하기 시작하면 다른 방향을 잘못 보는 것 같네요. 감사합니다. ㅎㅎ 🙂

      아참, 댓글에서도 latex가 됩니다. ㅎㅎ
      ‘$latex’ 라고 먼저 쓰고 수식을 쓴 후, 마지막에 달러기호를 쓰시면 됩니다. 🙂

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