디리클레 정리의 증명 : 서론

자연수만으로 이루어진 어떤 증가하는 수열이 소수를 무한히 포함하는가 하는 문제는 흥미로우면서도 대단히 까다로운 문제이다. 소수는 의외로 희박해서 수열이 조금만 빨리 증가해도 소수를 무한히 포함하는지 판별하기가 극도로 어려워진다.

예를 들어 1, 11, 111, 1111, …. 과 같이 십진법으로 1만 포함하는 수열에 소수가 무한히 많은지의 여부는, 본인이 알기로는 아직 증명되지 않았다. 이 수열은 지수적으로 증가하는데 (일반항이 (10^{n}-1)/9 이다), 지수적으로 증가하는 수열 중에서 소수를 무한히 포함하고 있다고 추측하고 있는 문제로는 여러 개가 있다. 그 중 특히 메르센 소수가 무한히 많은가 하는 문제는 아직 풀리지 않았는데, 본인의 짐작으로는 위 문제는 아마 메르센 소수의 문제와 동시에 풀릴 가능성이 높다. 얼핏 보기에 별것 아닌 것 같지만, 매우 어려운 문제가 되고야 만다.

또 다른 문제로는 페르마 소수가 무한히 많은가 하는 문제인데, 역시 지수적으로 증가하는 수열이 무한히 많은 소수를 포함하는가에 대한 문제가 된다. 역시 풀리지 않았다.

그러면 다항식이라면 쉽지 않을까? 그런데 애석하게도 정수 범위에서 인수분해 되지 않는 이차 이상의 다항식 중에 소수를 무한히 많이 포함하고 있다고 증명된 다항식은 아직 없다. 예를 들어, 인수분해되지 않는 가장 간단한 이차 다항식 n^2 +1의 경우만 하더라도, 이 수열에 소수가 무한히 많은지 아직 증명되지 않았다. 이에 관한 가장 좋은 결과는 Henryk Iwaniec의 결과[1]로서 1978년에 n^2 +1꼴의 수는 소수 또는 거의 소수(semiprime; 소수 두 개의 곱)를 무한히 많이 포함함을 증명하였다.

그런 의미에서 디리클레의 정리는 각별하다. 이 정리는 초항과 공차가 서로 소인 등차수열에는 소수가 무한히 많이 있다는 정리로서, 변수가 하나인 수열 중에서는 현재로서는 가장 좋은 결과라고 할 수 있다.

그런데 이 정리를 어떻게 증명하는가? 사실 Apostol의 책[2]에 잘 나와 있는데, 뭐 공부한 것도 있고하니 여기에 한 번 주절주절 써 보겠다. 수학적 훈련은 받았지만, 배경지식이 없는 사람을 기준으로 설명할 계획인데, 증명이 길어서 몇 번의 포스트에 나누어서 올려야 한다. 본 블로그의 설명이 만족스럽지 못하다면 원서를 읽어주시면 감사하겠다.

 


[1] H. Iwaniec (1978), “Almost-primes represented by quadratic polynomials”, Inventiones mathematicae 47: 178–188
[2] Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

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