2010년 8월 Using your Head is Permitted 문제 : 정사면체가 통과할 수 있는 구멍

지난달 Using your Head is Permitted 문제[1]에는 무척 흥미로운 문제가 실려 있는데, 다음과 같다.

한 변의 길이가 1인 정사면체가 두께가 없는 평면에 뚫린 원형의 구멍을 통과하려고 한다. 원의 반지름의 최소값을 구하여라.

한 번 구해보시라.

 


정답 :
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}\frac{\sqrt[3]{59-8\sqrt{43}}+\sqrt[3]{59+8\sqrt{43}}+\sqrt[3]{\sqrt{43}-4}-\sqrt[3]{\sqrt{43}+4}+1}{\sqrt{\sqrt[3]{59-8\sqrt{43}}+\sqrt[3]{59+8\sqrt{43}}+2}}\fallingdotseq 0.4478

풀이는 [2]에 잘 나와 있다. 블로그에 풀이 전체를 옮겨보려고 했는데, 요즘 글자 치기가 귀찮다-_-

여하튼 논문의 풀이[2]를 요약하자면, 정사면체의 한 꼭짓점을 지나는 평면으로 정사면체를 자를 때 생기는 삼각형 단면들 중에서 외접원의 반지름이 최소가 되는 값을 계산한 것인데, 이건 직접 계산을 하여 로컬 극대값을 찾는 것이므로, 여기까지는 고교 수준의 수학을 넘지 않는다. 다만, 마지막에 미분을 해서 극대값을 찾기 위해 삼차방정식을 풀어야 하는데, 일반적인 삼차방정식의 해법은 고교 교육과정을 벗어나므로, 이 한 군데 때문에 고교생이 풀기에는 조금 무리가 있다.

반지름이 0.5보다 약간 작아서, 정사면체의 한 변이 그냥 통과할 수 없다. 처음에 한 꼭지점을 밀어 넣은 후, 비스듬하게 지나가야 한다.

UYHIP의 해법[3]에는 직접 종이로 만들어볼 수 있도록 원과 사면체의 전개도를 제공하고 있다. 직접 해보고 싶은 사람은 출력해서 해보기 바란다. 유튜브에 직접 실험해보는 동영상[4]도 있다.

 


[1] http://brand.site.co.il/riddles/201008q.html
[2] J. Itoh, Y. Tanoue, T. Zamfirescu. “Tetrahedra passing through a circular or square hole“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (2) Suppl. No. 77 (2006) 349–354.
[3] http://brand.site.co.il/riddles/201008a.html
[4] https://www.youtube.com/watch?v=3pGJ1AddJwk

Advertisements

답글 남기기

아래 항목을 채우거나 오른쪽 아이콘 중 하나를 클릭하여 로그 인 하세요:

WordPress.com 로고

WordPress.com의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Twitter 사진

Twitter의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Facebook 사진

Facebook의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Google+ photo

Google+의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

%s에 연결하는 중