디리클레 정리의 증명 part 2 : Mertens theorem

지난 part1[1] 에 이어 이번에 증명할 정리는 다음과 같다.

 


1. theorem > (Mertens)

\displaystyle \sum_{p \le x} \frac{\log p}{p} = \log x + O(1)

이걸 보고 다음과 같은 유명한 공식들을 떠올릴 사람도 있을 지 모르겠다.

\displaystyle \sum_{n \le x} \frac{1}{n} = \log x + \gamma + O\left(\frac{1}{x}\right)

\displaystyle \sum_{p \le x} \frac{1}{p} = \log \log x + C + O\left(\frac{1}{\log x}\right)

여기서 \gamma는 저 유명한 오일러-마스케로니 상수이다.

뭐 위의 두 개 보다는 인지도가 조금 낮아도 이건 웬만한 해석적 정수론 책에 다 나와 있는 매우 유명한 정리이다. ㅎㅎ 이 정리의 증명부분은 apostol 책[2]이 조금 지저분하므로 좀 더 깔끔한 nathanson 책[3]의 것으로 대체하겠다.

이를 증명하기 위해서는 먼저 다음과 같은 정리를 먼저 증명할 필요가 있다.

2. theorem >

\displaystyle \sum_{n \le x} \log n = x\log x -x +O(\log x)

2-1. proof of theorem 2 >
로그함수는 증가함수이므로 구분구적법처럼 블럭을 쌓으면 다음 부등식이 성립함을 쉽게 이해할 수 있다.

\displaystyle \int_{1}^{x}\log t dt \le \sum_{n \le x} \log n \le \int_{1}^{x}\log t dt +\log x

이 적분을 계산하면 간단하게 원하는 공식을 얻을 수 있다.

3. lemma >

\displaystyle \sum_{d|n}\Lambda(d) = \log n

이 등식은 일전에 소수정리의 해석적 증명[4]에서 소개한 바가 있지만, 상당히 자명하다. 증명을 한 번 생각해보기 바란다.

자, 이번에는 이번 포스트에서 증명의 가장 긴 부분이 될 다음의 정리를 증명하겠다.

4. theorem > (Mertens)

\displaystyle \sum_{n \le x} \frac{\Lambda(n)}{n} = \log x + O(1)

목표로 하는 증명과 대단히 유사하다. 사실, 전체 자연수 중에서 2 이상의 소수의 거듭제곱들은 소수가 차지하는 비율에 비해 그다지 크지 않다. 이것은 이전에 소수정리 포스트에서 part 1[5] 부분의 정리 3 \lim_{x\to\infty}(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x})=0와도 비슷한 부분이라고 할 수 있다.

기호 \{x\}x의 fractional part를 의미한다. 즉, \{x\} = x - [x] 이다.

4-1. proof of theorem 4 >

\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n \le x} \frac{\Lambda(n)}{n} & = \frac{1}{x}\sum_{n \le x}\frac{x}{n}\Lambda(n) \\ & =\frac{1}{x}\left(\sum_{n \le x}\left[\frac{x}{n}\right]\Lambda(n) + \sum_{n \le x}\left\{\frac{x}{n}\right\}\Lambda(n)\right) \\ & \le \frac{1}{x}\left(\sum_{n \le x}\left[\frac{x}{n}\right]\Lambda(n) + \sum_{n \le x}\Lambda(n)\right) \\ & = \frac{1}{x}\left(\sum_{n \le x}\left[\frac{x}{n}\right]\Lambda(n) + O(x)\right) \\ & = \frac{1}{x}\sum_{n \le x}\sum_{d|n}\Lambda(d) + O(1) \\ & = \frac{1}{x}\sum_{n \le x}\log n + O(1) \\ & = \frac{1}{x}(x\log x -x + O(\log x) ) + O(1) \\ & = \log x + O(1)\end{aligned}

세 번째 줄에서 네 번째 줄로 넘어갈 때, part1[1] 에서 증명한 결과를 사용하였고, 다섯 번째 줄에서 여섯 번째 줄로 넘어갈 때 lemma 3 을 사용했고, 여섯 번째 줄에서 일곱 번째 줄로 넘어갈 때, 정리 2를 사용하였다.

자 이제 이번 포스트의 목표를 증명해보겠다.

5. proof of theorem 1 >
위 정리 4의 근사식과 증명하고자 하는 식이 동일하므로 두 식의 차이가 O(1) 임을 보이면 된다. 즉,

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n \le x} \frac{\Lambda(n)}{n} - \sum_{p \le x} \frac{\log p}{p} & = \sum_{\substack{p^k \le x\\k \ge 2}}\frac{\log p}{p^k} \\ & \le \sum_{p \le x}\log p \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{p^k} \\ & \le \sum_{p \le x}\frac{\log p}{p(p-1)} \\ & = O(1) \end{aligned}

이로서 증명이 완성된다.

 


[1] 내 백과사전 디리클레 정리의 증명 part 1 : some asymptotic formulas 2010년 9월 9일
[2] Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3
[3] Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X.
[4] 내 백과사전 소수정리의 증명 : part 2-2 해석적 증명 2010년 3월 6일
[5] 내 백과사전 소수정리의 증명 : part 1 물밑작업 2010년 3월 2일

2 thoughts on “디리클레 정리의 증명 part 2 : Mertens theorem

    • 위에 레퍼런스로 되어 있는 두 권의 책 중에서 한 권을 읽어보시면 됩니다. 설명 잘 돼 있습니다. 본 블로그로 이해하시려면 아직 설명할 내용이 좀 많이 남아 있으니 좀 기다려야 할 듯 하네요. ㅎ

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