소수 내에서 positive density를 갖는 부분집합의 역수의 합

다들 아시다시피 소수의 역수의 합은 발산하는데, 그건 이전의 블로그에서 짧은 증명[1]을 한 번 올린 바 있다

좀 더 정확히 이야기하자면 어떤 상수 C가 존재해서 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{p \le x}\frac{1}{p} = \log \log x + C + O\left(\frac{1}{\log x}\right)

이 상수는 메르텐스 상수(Mertens Constant)라는 이름이 붙어 있다. 뭐 하여간 발산한다는게 이 포스트에서 중요하다. ㅋ

지인과 대화를 하다가, 소수 내에서 positive density를 갖는 어떤 부분집합이 있다면 그 역수의 합이 발산하는지에 대한 의문이 들기 시작했다. 여기서 density란 arithmetic density를 이야기하는건데, 쉽게 말해서 열라 큰 n 값 이하의 개수가 전체 집합에서 얼마나 차지하는지에 관한 비율이다. 즉, 좀 더 정확히 말해서 어떤 자연수의 부분집합 AA의 부분집합 B가 있고, f_A (x), f_B (x)는 각각 x 이하의 자연수 중에서 두 집합의 원소의 개수라고 할 때, 다음의 극한이 density가 된다.

\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f_B(x)}{f_A(x)}

직관적으로 짝수의 집합은 자연수 전체에서 density가 1/2이 되고, 제곱수의 집합은 density가 영이 된다. 또한, 소수정리(prime number theorem)에 의해 소수의 집합도 자연수 전체에서 density가 영이 된다.

참고로, 한국어 위키피디아의 density 항목은 본인이 작성했는데, 암만 검색해봐도 natural density를 한국어로 어떻게 번역하고 있는지 몰라서 그냥 ‘점근 밀도’로 번역해버렸다. 켁.

여하튼, 소수 전체에서 영이 아닌 density를 가진 부분집합의 역수가 발산하는지 궁금해졌다. 뭐 아마 발산할 듯 싶었지만, 정수론에서는 증명하기 전까지는 방심은 금물. ㅋ

 


소수 정리와 summation by part[2]에서 소개한 공식을 활용해야 한다.

영이 아닌 density를 가진 소수의 부분집합 A가 주어져 있다고 해 보자. 먼저 두 기호를 정의해 보자. \theta_1 (n) 은 소수일 때만 1이 되고, 나머지 모든 자연수에서 영이 되는 함수이다. \theta_2 (n)A의 원소만 1이 되고, 나머지 모든 자연수에서 영이 되는 함수이다. 가정에 의해 다음이 성립한다.

\displaystyle \liminf_{x\to\infty}\frac{\sum_{n\le x}\theta_2 (n) }{\sum_{n\le x}\theta_1 (n)} = \alpha > 0

그러므로 임의의 충분히 작은 \epsilon >0 에 대해 항상 충분히 큰 x 가 존재해서 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{n \le x} \theta_2 (n) \ge (\alpha -\epsilon)\sum_{n \le x} \theta_1 (n) …. 식(1)

자, 이제 \sum_{n \le x}\frac{\theta_2 (n)}{n} 이 발산하는지를 확인하는 것이 필요하다. Abel’s identity에 의해 다음과 같이 계산된다.

\displaystyle \sum_{n \le x}\frac{\theta_2 (n)}{n} = \frac{1}{x}\sum_{n\le x}\theta_2 (n) - \frac{\theta_2 (2)}{2}+ \int_{2}^{x}\frac{\sum_{n\le t}\theta_2 (n)}{t^2}dt

식 (1)에 의해 위 식은 다음과 같이 된다.

\displaystyle \ge  \frac{\alpha -\epsilon}{x}\sum_{n\le x}\theta_1 (n) - \frac{\theta_2 (2)}{2} + (\alpha -\epsilon)\int_{2}^{x}\frac{\sum_{n\le t}\theta_1 (n)}{t^2}dt …. 식 (2)

그런데 소수정리에 의해 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{n \le x}\theta_1 (n) \sim \frac{x}{\log x}

그러므로 식 (2)의 뒤쪽은 충분히 큰 x에 대해 다음 적분으로 근사된다.

\displaystyle \int_{2}^{x} \frac{1}{t\log t}dt

다들 아시다시피 이 적분은 발산한다! 그러므로 소수 내에서 positive density를 갖는 부분집합은 역수가 발산함을 알 수 있다.

 


[1] http://zariski.egloos.com/2435990
[2] 내 백과사전 Summation by parts 2010년 10월 22일

Advertisements

답글 남기기

아래 항목을 채우거나 오른쪽 아이콘 중 하나를 클릭하여 로그 인 하세요:

WordPress.com 로고

WordPress.com의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Twitter 사진

Twitter의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Facebook 사진

Facebook의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Google+ photo

Google+의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

%s에 연결하는 중