디리클레 정리의 증명 part 3 : Dirichlet characters

이제 약간 새로운 내용으로 넘어와서 Dirichlet character에 대해서 설명해보겠다.

많은 수학책들이 이것을 군론(group theory)을 이용하여 설명하고 있고, 본 시리즈 포스팅에서 언급한 참고 서적[1] 또한 그렇다. 그러나 본 포스팅의 진입장벽을 낮추기 위해 군론을 피해서 설명을 해 보려 했는데, 너무 설명이 장황해지고 말이 많아지기 시작해서 모양새가 썩 좋지 않았다. 그래서 부득이하게 군론을 동원하는 수 밖에 없었다. 이 포스트를 이해하기 위해서는 초보적인 현대대수학(Abstract algebra)의 지식이 필요하다.

 


0. terminology and notation >
n 번째 Root of unity(nth root of unity)라는 게 있다. 한글로 뭐라하는지 모르겠네…-_- 암튼, 복소수 범위에서 방정식 x^n = 1의 해들을 말한다.

(n, m) 의 의미는 n, m의 최대공약수를 뜻한다.

\varphi(n) 이란 n 이하의 자연수 중에서 n과 서로 소인 수들의 개수를 말한다. 유명한 Euler’s totient function이다.

1. definition > Dirichlet character
자 이제, 어떤 주어진 k 가 있을 때, 자연수에서 \varphi(k)번째 root of unity 또는 영으로 가는 함수 \chi(n) 을 생각하기로 한다. 그냥 아무렇게나 보내는 함수가 아니고 다음의 조건을 만족해야 한다.

  1. 만약 m \equiv n \pmod{k} 이면 \chi(m) = \chi(n) 이다.
  2. (n, k) > 1 이면 \chi(n)=0 이다.
  3. \chi(mn) = \chi(m)\chi(n)
  4. 모든 자연수가 영에 대응되는 경우는 제외한다

위와 같은 조건을 만족하는 함수 \chi(n)를 Dirichlet character라고 부른다. 조건에 따라 주어진 k 와 서로 소인 모든 자연수에 1을 할당하는 함수도 Dirichlet character가 될 수 있다. 이 Dirichlet character를 principal Dirichlet character 라고 한다. principal Dirichlet character를 \chi_1 (n)라고 쓰고 나머지 다른 Dirichlet character들을 \chi_2 (n), \chi_3 (n), ... 라고 쓰기로 한다.

2. some properties >
\mathbb{Z}_k 에서 k와 서로 소인 수들은 곱셈에 대해 group을 이루는데, Dirichlet character에 해당하는 함수는 이 group에서 root of unity로 가는 group homomorphism이 된다. 게다가 이 group이 cyclic 이므로 generator의 image가 하나만 결정되면 나머지 모든 원소의 함수값이 결정된다. 그러므로 다음 성질들이 성립하는 이유를 쉽게 이해할 수 있다.

  1. 모든 Dirichlet character에 대해 1의 값은 항상 1이다. 즉, \chi(1) =1
  2. Dirichlet character는 \varphi(k)개 존재한다.

3. examples >
이해를 돕기 위해 Apostol 책[1]에 나온 예를 그대로 실어보겠다. 위키피디아의 항목에도 설명이 잘 나와 있으니 참조 바란다.

만약 k=3 일 경우, \varphi(k)=2 이므로 두번째 root of unity는 1과 -1 뿐이다. 따라서, Dirichlet character는 두 개가 존재할 수 있다. 이 두 가지 Dirichlet character의 대응은 다음과 같다.

n\pmod{3} 1 2 3 총합
\chi_1 (n) 1 1 0 2
\chi_2 (n) 1 -1 0 0

만약 k=4 일 경우, 마찬가지로 \varphi(k)=2 이므로 두번째 root of unity는 1과 -1 뿐이다. 그러므로 Dirichlet character가 역시 두 개가 존재할 수 있다.

n\pmod{4} 1 2 3 4 총합
\chi_1 (n) 1 0 1 0 2
\chi_2 (n) 1 0 -1 0 0

만약 k=5 일 경우, \varphi(k)=4 이므로 네번째 root of unity는 1, -1, i, -i 뿐이다. 그러므로 Dirichlet character가 역시 네 개가 존재할 수 있다.

n\pmod{5} 1 2 3 4 5 총합
\chi_1 (n) 1 1 1 1 0 4
\chi_2 (n) 1 -1 -1 1 0 0
\chi_3 (n) 1 i -i -1 0 0
\chi_4 (n) 1 -i i -1 0 0

4. theorem >

\displaystyle \sum_{r=1}^{k}\chi_n (r) = \begin{cases} \varphi(k) \quad \text{if} \; n=1 \\ 0\quad \text{otherwise} \end{cases}

위 표에서 가로의 총합을 적어 놓은 항목을 보면 쉽게 느낄 수 있을 것이다. 이 성질은 principal Dirichlet character의 경우 값이 모두 1이므로 합하면 \varphi(k)이 되지만, 다른 경우에는 Dirichlet character의 값이 복소평면의 단위원 위의 값들이 되므로 모두 더하면 영이 된다.

5. theorem >
두 Dirichlet character \chi_n , \chi_m가 있을 때, \chi_n (a)\overline{\chi_m}(a) = \chi_r (a) 를 만족하는 r이 있고, n = m 일 때만 r=1이다. 여기서 위의 줄은 복소수의 켤레(conjugate)값을 의미한다.

root of unity의 conjugate는 역시 root of unity가 되기 때문에 Dirichlet character의 함수값에 conjugate를 해도 다시 Dirichlet character가 된다. 게다가 Dirichlet character가 마치 vector space의 dual space 처럼 각각의 homomorphism이 group으로서 닫혀있기 때문에, 쉽게 성립함을 이해할 수 있다.

6. theorem >
\varphi(k) \times \varphi(k) 크기의 행렬을 생각하자. k와 서로 소인 각 a_j에 대해, i 번째 행, j 번째 열에 대한 각 entry는 다음과 같다.

a_{ij} = \chi_i (a_j )

이때 다음이 성립한다.

AA^* = \varphi(k)I

여기서, 별표는 Conjugate transpose이고, I는 identity matrix이다.

6-1. proof of theorem 6 >
AA^*의 entry b_{ij}는 다음과 같다.

\displaystyle b_{ij} = \sum_{r=1}^{\varphi(k)}\chi_i (a_r )\overline{\chi_j}(a_r ) = \sum_{r=1}^{\varphi(k)} \chi_n (a_r )

그러므로 정리 5에 의해 대각선만 \varphi(k)이 되고 나머지는 모두 영이 된다.

7. theorem >
(k, n)=1일 때, 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{r=1}^{\varphi(k)}\chi_r (m)\overline{\chi_r}(n) = \begin{cases} \varphi(k) & \text{if} \; m\equiv n \pmod{k} \\ 0 & \text{if} \;m\not\equiv n \pmod{k} \end{cases}

7-1. proof of theorem 7 >
AA^* = \varphi(k)I이므로 A^* A = \varphi(k)I 이다. 이 행렬의 entry가 위와 같으므로 성립한다.

이 마지막 정리가 디리클레 정리를 증명하기위해 우리에게 필요한 정리이다.

 


[1] Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

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