정수론의 최신결과들(1998-2009)

구글 버즈를 보다보니 최근 10년간 정수론의 결과들을 모아놓은 이런 흥미로운 글이 있었다. 수학 전공자들은 뭐 이래저래 들어봤을 터이지만, 비전공자들에게도 흥미있을 듯 하므로 요약하여 소개해본다.

본 포스트 내용의 출처는 모두 arXiv에 게시된 글[1]에서 온 것이다.

 


다들 알다시피, \varphi(n)n 이하의 자연수 중에서 n과 서로 소인 것의 개수를 의미한다.

1922년에 Carmichael이라는 친구가 다음과 같은 추측을 했다.

1. conjecture 모든 m에 대해 방정식 \varphi(x) = m의 해는 항상 두 개 이상이다.

이것을 Carmichael’s totient function conjecture라고 부른다. 이 추측은 아직 미해결인데, 1998년에 Kevin Ford에 의해 반례가 존재한다면 10^{10^{10}} 이상이어야 한다는 것이 증명되었다.

이와 관련하여 1950년에 Sierpiński는 다음과 같은 추측을 내 놓았다.

2. theorem 2보다 큰 모든 자연수 k에 대해 정확히 k개의 해를 가지는 방정식 \varphi(x) = m이 존재한다.

역시 Kevin Ford가 1999년에 해결하였다. 이 친구 대단한 것 같은데, 아직 위키피디아에 이름이 없네….

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유명한 마약쟁이 Erdős는 1980년에 다음 추측을 하였다.

3. conjecture A는 자연수로 이루어진 집합이고 역수의 총합이 발산한다. 즉, \sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty이다. 이때, 모든 자연수 k 에 대해 길이가 k인 등차수열을 항상 A 안에서 찾을 수 있다.

이것은 아직 해결되지 않았는데, 주목할 점은 소수의 역수의 합이 발산한다는 점이다. 2006년 필즈메달을 수상한 타오의 정리가 이와 관련이 있다. 즉, 임의의 길이를 가진 소수만으로 이루어진 등차수열이 존재한다는 정리이다.

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카탈란 수로도 유명한 Catalan은 1844년에 다음 추측을 하였다.

4. theorem 1보다 큰 정수 x, y, p, q 에 대해 방정식 x^p - y^q = 1의 해는 3^2 - 2^3 = 1이 유일하다.

이것은 유명한 카탈란 추측으로서, 일전의 포스트에서도 소개한 바가 있지만, Mihăilescu라는 친구가 2002년에 증명하면서 거의 150년이상 버텨온 문제의 종지부를 찍었다.

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자연수로 이루어진 어떤 다항식의 값이 무한히 많은 소수를 만들 수 있는가 하는 문제는 사람들이 매우 관심있어 하는 주제로서 일전에 디리클레의 정리에 관한 이야기를 할 때 한 번 한 적이 있었다. 아직 많은 문제가 해결되지 않았지만, 가장 최근의 결과로서 다음 두 개의 정리가 있다.

5. Theorem (Friedlander, Iwaniec 1998) m^2 + n^4은 무한히 많은 소수를 포함한다.

6. Theorem (Heath-Brown 2001) m^3 + 2n^3은 무한히 많은 소수를 포함한다.

히스 브라운이랑 이바니에치는 정수론 관련 자료를 찾다보면 이래저래 자주 나오는 이름들이다. ㅋ

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Prime gap은 인접한 두 소수의 차로 만든 수열이다. 즉, p_nn번째 소수라고 하면, nth prime gap은 g_n = p_{n+1} - p_n이다. prime gap은 소수를 연구하는 사람들의 상당한 관심사인데, 왜냐하면 쌍둥이 소수 추측이 다음 명제를 증명하는 것이기 때문이다.

\displaystyle \liminf_{n\to\infty}g_n = 2

물론 이 자체는 아직 미해결이지만 이에 비교적 가까운 결과로서 2009년에 다음이 증명되었다고 한다.

7. Theorem (Goldston, Pintz, Yıldırım 2009) \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n} = 0

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어떤 주어진 수가 소수임을 효율적으로 판정하는 알고리즘 문제는 전산학에서도 주목하는 문제인데, 구버전의 maple이나 mathematica와 같은 소프트웨어는 확률에 기초한 판정을 하고 있다. 즉, 매우 큰 수에 한해서 지극히 낮은 확률이지만 잘못된 결과를 도출할 수도 있다. (요즘 나온 신버전은 안 써봐서 잘 모르겠음. ㅋ)

2004년에 M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena 이 세 사람은 주어진 n 자리수가 소수인지 판정하는 시간이 n의 다항식 시간으로 결정되는 알고리즘을 개발하는데 성공하여 센세이션을 일으켰다. 이 세 사람의 앞글자를 따서 AKS primality test라고 부르는데, 이에 관한 포스팅도 기회가 되면 하고싶지만 여력이 잘 안 되는군-_-

물론 소수인지만 판정하는 것이 아니라, 실제로 소인수분해 하는 알고리즘은 이보다 훨씬 느려서, 아직 자리수의 다항식 시간으로 결정되는 알고리즘은 없다.

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물론 알아두어야 할 것은 위에서 소개한 결과들 하나하나가 전부 대박이라는거… ㅋ 정수론의 미해결 문제들은 대부분 풀기가 어려워 그렇지 풀고나면 대박이다. ㅋ

 


[1] Adam Grygiel, “Progress in number theory in the years 1998-2009”, arXiv:1010.2484 [math.HO]

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