Dirichlet’s hyperbola method

이 정리는 상당히 유용하게 쓰이므로 별도의 포스트로 만들어 둔다. planetmath.org[1]도 참고 바란다.

 


1. notation and terminology >
두 개의 Arithmetic function f(n), g(n)이 있고, F(x), G(x), H(x)를 다음과 같이 정의하자.

\displaystyle F(x) = \sum_{n \le x}f(n) , \displaystyle G(x) = \sum_{n \le x}g(n) , \displaystyle H(x) = \sum_{n \le x}(f * g)(n)

여기서 별표의 의미는 Dirichlet convolution이다. 정의에 의해 다음이 성립한다.

\displaystyle H(x) = \sum_{n\le x}\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{\substack{c,d \le x \\cd \le x}}f(c)g(d)

2. property >
다음과 같이 H(x)에 합의 변화를 줄 수 있다.

\displaystyle \sum_{n\le x}\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{n \le x}\sum_{\substack{q,d \le x \\ qd=n}}f(d)g(q) = \sum_{d\le x} \sum_{q\le x/d}f(d)g(q)

이건 뭐, 쌍곡선 안쪽의 격자점을 세는 방법의 차이이다. 곡선을 따라 세는 것과 축을 따라 세는 것은 같게 된다.

3. theorem > Dirichlet Hyperbola Method
a, b가 양의 실수이고 ab=x라고 할 때, 다음의 등식이 성립한다.

\displaystyle \sum_{ \substack{q,d\le x\\qd \le x}}f(q)g(d) = \sum_{n\le a}F\left(\frac{x}{n}\right)g(n) + \sum_{m\le b}G\left(\frac{x}{m}\right)f(m) - F(a)G(b)

위 정리에 대한 내용은 [2;p559], [3;p69] 등을 참고할 것.

3-1. proof of theorem 3 >

위 그림을 딱 보면 이해할 수 있을 것이다. 좌변 H(x)는 쌍곡선의 안쪽 격자점의 개수인데, 이는 A\cup BB\cup C를 합한데서 두 번 센 B 부분을 빼면 된다.

 


[1] Dirichlet hyperbola method in planetmath.org
[2] Diamond, Harold G. (1982), “Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers“, Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 7, Number 3, 553-589.
[3] Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

Advertisements

답글 남기기

아래 항목을 채우거나 오른쪽 아이콘 중 하나를 클릭하여 로그 인 하세요:

WordPress.com 로고

WordPress.com의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Twitter 사진

Twitter의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Facebook 사진

Facebook의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Google+ photo

Google+의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

%s에 연결하는 중