디리클레 정리의 증명 part 6 : The plan

여기까지 따라온 사람이 있을지 의문이지만-_- 만약 있다면 이제 디리클레 정리의 전체적인 증명의 구조를 설명할 수 있게 되었다고 생각하므로, 지겨워지기 전에 슬슬 전체적인 구조를 소개하겠다. 이 내용은 물론 Apostol 책[1]의 내용을 그대로 따라간 것이다. 부족함이 있다면 원서를 참조하기 바란다.

 


소수가 무한히 많음을 증명하려면 다양한 방법이 있지만, 이 대목에서 여러 증명 중 오일러의 유명한 증명을 상기할 필요가 있다. 즉, \sum p^{-1}발산한다는 증명인데, 이 발산을 통해 소수가 무한히 많다는 결론을 얻을 수 있다.

마찬가지로 초항과 공차가 서로 소인 등차수열에 속한 소수들의 역수의 합이 발산함을 보임으로서 디리클레의 정리의 증명을 할 수 있는데, 본 블로그에서는 Apostol 책[1]의 내용을 따라, \sum p^{-1} 대신 \sum p^{-1}\log p 의 발산으로 증명하도록 하겠다.

part 2에서 Mertens의 공식을 증명한 바가 있다.

\displaystyle \sum_{p \le x} \frac{\log p}{p} = \log x + O(1)

이 식을 좀 더 변형하여 다음과 같은 식을 증명했다고 가정해보자.

1. theorem > the main theorem
h,k는 서로 소인 자연수일 때,

\displaystyle \sum_{\substack{p \le x \\ p\equiv h \pmod{k}}} \frac{\log p}{p} = \frac{1}{\varphi(k)}\log x + O(1)

좌변의 합은 k를 법으로 하여 h와 합동인 x 이하의 모든 소수에 대한 합을 의미한다. 이 정리를 증명한다면, 즉시 디리클레의 정리를 얻을 수 있음을 알 수 있다.

2. lemma >
다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{\substack{p \le x \\ p\equiv h \pmod{k}}} \frac{\log p}{p} = \frac{1}{\varphi(k)}\log x + \frac{1}{\varphi(k)}\sum_{r=2}^{\varphi(k)}\overline{\chi_r}(h)\sum_{p\le x}\frac{\chi_r (p)\log p}{p} + O(1)

만약 \chi가 principal이 아닐 때, 위 식의 뒷부분이 \sum_{p\le x}(\chi(p)\log p)/p = O(1) 임을 증명한다면 이 lemma 2가 즉시 theorem 1의 증명이 될 수 있다는 것을 알 수 있다.

3. lemma >
\chi가 principal이 아니라고 하자. 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{p\le x}\frac{\chi(p)\log p}{p} = -L'(1,\chi)\sum_{n\le x}\frac{\mu(n)\chi(n)}{n} + O(1)

물론 여기서 \mu(n)뫼비우스 함수이다. part 1을 참고하시라.

그리하여 만약 \sum_{n \le x}\mu(n)\chi(n)/n = O(1)이 성립함을 증명한다면, 위 lemma 3이 증명됨을 알 수 있다.

4. lemma >
\chi가 principal이 아니라고 하자. 다음이 성립한다.

\displaystyle L(1,\chi)\sum_{n\le x}\frac{\mu(n)\chi(n)}{n} = O(1)

만약 L(1,\chi) \ne 0 이면 우리는 위 등식에서 양변을 L(1,\chi)으로 나눠주기만 하면 된다. part 5에서 Dirichlet character가 실수값을 가지는 경우는 이미 증명을 한 바가 있다. 복소수일 때는 어떻게 해결하는가?

만약 k를 법으로 하는 principal이 아닌 Dirichlet character \chiL(1,\chi)=0을 만족한다고 하자. 양변에 complex conjugation을 해주면 L(1,\overline{\chi})=0 이 성립한다. \chi는 실수값이 아니므로 그러한 Dirichlet character는 반드시 짝수개로 존재해야 한다.

5. lemma >
L(1,\chi)=0을 만족하는 Dirichlet character의 개수를 N(k)라고 하면 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{\substack{p \le x \\ p\equiv 1 \pmod{k}}} \frac{\log p}{p} = \frac{1 - N(k)}{\varphi(k)}\log x + O(1)

h 대신 1이 들어간 것에 주의하기 바란다. 만일 N(k) \ne 0 이라면, 좌변은 항상 양수인데, 우변은 N(k) \ge 2이므로 반드시 음의 무한대로 발산하게된다. 이는 모순이므로 복소수값을 가지는 character에 대해서도 L(1,\chi)\ne 0 임을 알 수 있다. 그리하여 최종적으로 디리클레 정리의 증명이 완성됨을 알 수 있다.

 


[1] Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

3 thoughts on “디리클레 정리의 증명 part 6 : The plan

  1. 예전에 Dirichlet theorem의 증명에 대한 두 개의 논문(디리클레의 원 논문을 영어로만 바꾼 것&군론 개념을 도입하여 현대적으로 설명한 논문)을 읽어본 적이 있는데 배경지식이 부족해 정말 이해하고 싶은 정리임에도 불구하고 잘 이해하지 못하는 부분이 많았습니다.. 그래도 zariski님의 포스팅을 쭉 읽고 나니 어느 정도 증명의 틀이 떠오르는 것 같군요. 유익한 포스팅 감사합니다 ㅜㅜ

    P.S 그러고 보니 디리클레 정리는 사실 겉으로 서술된 정리보다 더 강력한 정리(마지막 Lemma)를 내포하고 있었군요. 특히 마지막 Lemma 같은 경우 꽤 유용성도 있어 보입니다.

    질문) 근데 Lemma의 log p/p 항을 쳐다보다 보니까 뭔가 Mangoldt function이 자꾸 생각나는군요.
    실제로 Dirichlet 정리나 이 증명에서 내포하는 결과가 Mangoldt function이나 Chebyshev function 등을 연구할 때 사용되기도 하나요???

    • 반갑습니다.🙂

      질문에 대해서는, 음… 저도 잘 모릅니다. 그렇지만 제가 보기에는 순서가 거꾸로 된 것 같은데요. Mangoldt function이나 Chebyshev function은 Dirichlet 정리나 소수에 관한 정리에 대한 도구이지, 이 자체를 연구하기 위해 Dirichlet 정리를 이용하는 것은 거꾸로 된 것 같습니다.

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