골드바흐 추측을 향하여 : 서론

자연수의 부분집합이 주어져 있을 때, 원소의 한정된 개수의 합이 자연수 전체를 표현할 수 있는가 하는 문제는 많은 이들이 관심있어 하는 주제이다. 주어진 부분집합이 무엇이냐에 따라서 문제가 간단하기도 하고 어렵기도 하다.

이와 관련해서 가장 유명한 문제로 두 개의 소수의 합으로 충분히 큰 모든 짝수를 표현할 수 있는가 하는 문제가 있다. 이 문제는 골드바흐의 추측이라 불리는 유명한 문제인데, 수학에 조금이라도 관심이 있다면 대부분 익히 들어봤으리라 생각한다. 문제 자체의 의미는 우수한 초등학생 정도라면 거의 다 이해할 수 있지만, 완전히 풀리지 않은 악명 높은 문제중 하나이다.

또 다른 예로는 충분히 큰 모든 자연수를 한정된 개수의 거듭제곱수들의 합으로 표현가능한가 하는 문제가 있는데, 이는 Waring’s problem이라 불리는 문제로서 역시 매우 유명한 문제이다. 이 문제에 대해서도 나중에 언급할 예정이다.

 


골드바흐의 문제는 두 종류가 있는데 하나는 약한 추측이고 다른 하나는 강한 추측이다. 약한 추측은 충분히 큰 홀수는 세 개의 소수의 합으로 표현가능하다는 것이고, 강한 추측은 충분히 큰 짝수는 두 개의 소수로 표현가능하다는 것이다. 강한 추측이 참이라면 약한 추측은 저절로 참이 된다.

약한 추측의 경우는 이미 1937년 Vinogradov에 의해서 증명되었다. 즉, 충분히 큰 홀수는 세 개의 소수의 합으로 표현가능하다는 것인데, 이 ‘충분히 큰’ 값이 3^{3^{15}}으로 매우 큰 수이다. 이 경계값은 현재 많이 낮아졌긴 하지만 아직도 2\times 10^{1346} 정도로 매우 큰 수이므로, 유한한 경우가 남았기는 하지만 실제로 계산을 통해 확인하기가 쉽지 않다. (컴퓨터로 확인한 바로는 10^{18}까지 참이라고 한다.) 수정 : 이것이 2013년 Harald Helfgott에 의해 완전히 해결되었다고 한다.

강한 추측은 현재까지 풀리지 않고 있는 악명높은 문제이기도 한데, 현재까지 알려진 가장 좋은 결과는 중국 수학자 Chen의 결과로서 충분히 큰 짝수는 두 소수 혹은 소수와 거의 소수(Semiprime; 소수 두 개의 곱)의 합으로 표현가능하다는 것이 알려져 있다. 이 Chen의 정리Sieve method라 불리는 기법을 이용하여 증명하는데, 일전에 소개한 쌍둥이 소수의 역수의 합의 수렴성을 증명하는 것과도 연관이 있다.

약한 추측의 증명이라 할 수 있는 Vinogradov의 정리는 Waring의 문제와 밀접하게 연결되어 있는 하디-리틀우드 circle method를 이용하여 증명하는데, 계산이 좀 복잡하긴해도 전체적인 구조가 크게 어렵지는 않다.

골드바흐 추측의 최전선이라 할 수 있는 위 두 정리의 증명을 요즘 공부하고 있는데, 위 두 정리를 본 블로그에서 소개해볼까 한다. 뭐 읽을 사람은 별로 없지만, 그래도 블로그로 글을 써 놓으면 왠지 체계적으로 꼼꼼하게 이해가 잘 되는것 같으니 정리해 둘까 싶다. 켁.

4 thoughts on “골드바흐 추측을 향하여 : 서론

답글 남기기

아래 항목을 채우거나 오른쪽 아이콘 중 하나를 클릭하여 로그 인 하세요:

WordPress.com 로고

WordPress.com의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Twitter 사진

Twitter의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Facebook 사진

Facebook의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Google+ photo

Google+의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

%s에 연결하는 중