초등적 증명과 해석적 증명의 비교: Siegel–Walfisz 정리

지금까지 디리클레 정리의 증명을 했는데, 본인이 소개한 내용은 복소 해석학을 전혀 쓰지 않은 일종의 elementary proof라고 할 수 있다. 물론 Dirichlet character가 등장[1]했으므로 복소수 자체가 등장하지 않은 것은 아니다. 그리하여 이러한 증명을 약간 덜 elementary하다고 보는 견해도 있는 모양이다. Selberg는 character조차 쓰지 않은 증명[2]을 하였는데, 그는 이 증명이 ‘더 초등적(more elementary)‘이라고 언급하고 있다.[3;p350]

또한 물론 이 디리클레의 정리를 복소 해석학으로 증명하는 방법 또한 있는데, 당연한 이야기지만 악명높은 제타 함수를 변형한 디리클레 L-함수가 등장한다.

이래 증명하든 저래 증명하든 증명만 하면 된다고 생각할 수도 있겠지만, 사실 복소 해석학의 강력한 면은 증명 자체에서 오는 것이 아니라, 그 에러텀의 한계에서 볼 수 있다. 예를 들어, 소수 정리를 살펴보면, 제타 함수의 zero가 없는 영역이 1/2에 가까이 갈 수록 에러텀이 점점 더 좋아진다. 일전에 소수 정리의 증명 part 1[4]에서 \lim\psi(x)/x = 1 이라는 사실과 소수 정리는 동치라는 것을 보였는데, 그 에러텀 \psi(x) - x의 크기가 어디까지 진전되어 있는지, 어느 사이트[5]에 정리되어 있어서 그 내용을 그대로 올려본다. Big-O 아래쪽의 첨자는 내재된 상수가 그 첨자에 의존한다는 의미임.

먼저 해석적 증명

증명한 사람 \psi(x) - x의 에러텀 크기 비고
Chebyshev (1851) O(x) 비례 상수항은 0.1 이하
Hadamard, de la Vallee Poussin (1896) o(x) 소수 정리
De la Vallee Poussin (1899) O(xe^{-c\sqrt{\log x}}) 고전적인 에러텀
Littlewood (1922) O(xe^{-c\sqrt{\log x \log\log x}})
Vinogradov-Korobov (1958) O\left(xe^{-c\frac{(\log x)^{3/5}}{(\log\log x)^{1/5}}}\right) 알려진 최고의 결과
O_{\epsilon}(x^{1/2+\epsilon}), \epsilon < 0 리만 가설

다음은 초등적 증명

증명한 사람 에러텀 크기 비고
Erdős-Selberg (1949) o(x) 최초의 초등적 증명
Bombieri, Wirsing (1964) O_{A}(x(\log x)^{-A}),
A는 임의의 양수
최초의 에러텀을 포함한 초등적 증명
Diamond-Steinig (1970) O_{\alpha}(xe^{-c(\log x)^{\alpha}}),
\alpha < 1/7인 임의의 값
최초의 지수적 에러텀을 포함한 초등적 증명
Lavrik-Sobirov (1973) O_{\alpha}(xe^{-c(\log x)^{\alpha}}),
\alpha < 1/6인 임의의 값
알려진 최고의 초등적 증명
O(xe^{-c\sqrt{\log x}}) 초등적 증명의 한계라고 짐작되는 값

아무리 봐도 초등적 한계는 해석적 증명의 최초 발견자 중 한 사람인 De la Vallee Poussin이 이미 계산한 에러텀까지 미치지도 못하는 것이다. 일전에 언급[6]한 Jacques Hadamard의 명언이 떠오른다. “실수의 진실에 가장 빠르게 가는 길은 복소수의 영역을 지나는 것이다“. ㅎㅎ

그럼 이제 디리클레의 정리를 연장하여 등차수열 안에 소수의 밀도가 어느정도 되는지, 또 에러텀의 크기는 어느 정도 되는지와 같은 토픽들이 자연스럽게 등장하게 된다. 즉, 소수 정리의 등차수열 버전이라고 할 수 있는 다음 정리를 고려하게 된다.

Theorem > (Siegel–Walfisz)
임의의 실수 A에 대해 (a, q) =1이고 q\le (\log x)^A 일 때, 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{\substack{n\le x\\n\equiv a\pmod{q}}}\Lambda(x) = \frac{x}{\varphi(q)} + O(xe^{-C_A\sqrt{\log x}})

이 정리는 Siegel–Walfisz 정리라고 불리는데, 물론 즉시 디리클레 정리를 유도하게 된다. 게다가 에러텀까지 붙어있어 더 강력하다!! 이 정리는 나중에 약한 골드바흐 추측의 증명 중간에 쓰이므로 그 증명을 디리클레 정리의 카테고리 안에 계속해서 올려보겠다.

 


[1] 내 백과사전 디리클레 정리의 증명 part 3 : Dirichlet characters 2010년 10월 8일
[2] A. Selberg. “An elementary proof of Dirichlet’s theorem about primes in an arithmetic progression”. Annals Math., 50:297-304, 1949. In Collected Papers, volume I, pages 371-378, Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[3] M. B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, volume 195 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1996.
[4] 내 백과사전 소수정리의 증명 : part 1 물밑작업 2010년 3월 2일
[5] http://www.math.uiuc.edu/~hildebr/ant/ Lecture Notes p143-144
[6] 내 백과사전 소수정리의 증명 : part 3-2 Selberg’s formula 2010년 3월 9일

Advertisements

2 thoughts on “초등적 증명과 해석적 증명의 비교: Siegel–Walfisz 정리

  1. 이미 알고 있을지도 모르지만, 디리클리 정리와 관련해서 또 다른 자연스러운 질문 중 하나로 초항(a)과 공차(q)에 의존해서 주어진 등차수열 상에 최초의 소수를 상한을 찾는 문제가 있는데 Linnik에 의해 최초(?)의 결과가 얻어진 것으로 알고 있음. http://www.math.ubc.ca/~karstenc/Linnik.pdf 참고문헌이고
    공부하면 알려 주세요 ㅋㅋ.

    (근데, 이 블로그의 글들을 보면 아이디가 zariski 보다 selberg가 더 어울리지 않을까 하는 생각이???^^)

답글 남기기

아래 항목을 채우거나 오른쪽 아이콘 중 하나를 클릭하여 로그 인 하세요:

WordPress.com 로고

WordPress.com의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Twitter 사진

Twitter의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Facebook 사진

Facebook의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Google+ photo

Google+의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

%s에 연결하는 중