초등적 증명과 해석적 증명의 비교: Siegel–Walfisz 정리

지금까지 디리클레 정리의 증명을 했는데, 본인이 소개한 내용은 복소 해석학(Complex Analysis)을 전혀 쓰지 않은 일종의 elementary proof라고 할 수 있다. 물론 Dirichlet character가 등장했으므로 복소수 자체가 등장하지 않은 것은 아니다. 그리하여 이러한 증명을 약간 덜 elementary하다고 보는 견해도 있는 모양이다. Selberg는 character조차 쓰지 않은 증명[1]을 하였는데, 그는 이 증명이 ‘더 초등적(more elementary)’이라고 언급하고 있다. (출처 [2] p350)

또한 물론 이 디리클레의 정리를 복소 해석학으로 증명하는 방법 또한 있는데, 당연한 이야기지만 악명높은 제타 함수를 변형한 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)가 등장한다.

이래 증명하든 저래 증명하든 증명만 하면 된다고 생각할 수도 있겠지만, 사실 복소 해석학의 강력한 면은 증명 자체에서 오는 것이 아니라, 그 에러텀의 한계에서 볼 수 있다. 예를 들어, 소수 정리를 살펴보면, 제타 함수의 zero가 없는 영역이 1/2에 가까이 갈 수록 에러텀이 점점 더 좋아진다. 일전에 소수 정리의 증명 part 1에서 \lim\psi(x)/x = 1 이라는 사실과 소수 정리는 동치라는 것을 보였는데, 그 에러텀 \psi(x) - x의 크기가 어디까지 진전되어 있는지, 어느 사이트[3]에 정리되어 있어서 그 내용을 그대로 올려본다. (Big-O 아래쪽의 첨자는 내재된 상수가 그 첨자에 의존한다는 의미임.)

먼저 해석적 증명

증명한 사람 \psi(x) - x의 에러텀 크기 비고
Chebyshev (1851) O(x) 비례 상수항은 0.1 이하
Hadamard, de la Vallee Poussin (1896) o(x) 소수 정리
De la Vallee Poussin (1899) O(xe^{-c\sqrt{\log x}}) 고전적인 에러텀
Littlewood (1922) O(xe^{-c\sqrt{\log x \log\log x}})
Vinogradov-Korobov (1958) O\left(xe^{-c\frac{(\log x)^{3/5}}{(\log\log x)^{1/5}}}\right) 알려진 최고의 결과
O_{\epsilon}(x^{1/2+\epsilon}), \epsilon < 0 리만 가설

다음은 초등적 증명

증명한 사람 에러텀 크기 비고
Erdős-Selberg (1949) o(x) 최초의 초등적 증명
Bombieri, Wirsing (1964) O_{A}(x(\log x)^{-A}),
A는 임의의 양수
최초의 에러텀을 포함한 초등적 증명
Diamond-Steinig (1970) O_{\alpha}(xe^{-c(\log x)^{\alpha}}),
\alpha < 1/7인 임의의 값
최초의 지수적 에러텀을 포함한 초등적 증명
Lavrik-Sobirov (1973) O_{\alpha}(xe^{-c(\log x)^{\alpha}}),
\alpha < 1/6인 임의의 값
알려진 최고의 초등적 증명
O(xe^{-c\sqrt{\log x}}) 초등적 증명의 한계라고 짐작되는 값

아무리 봐도 초등적 한계는 해석적 증명의 최초 발견자 중 한 사람인 De la Vallee Poussin이 이미 계산한 에러텀까지 미치지도 못하는 것이다. 일전에 언급한 Jacques Hadamard의 명언이 떠오른다. “실수의 진실에 가장 빠르게 가는 길은 복소수의 영역을 지나는 것이다“. ㅎㅎ

그럼 이제 디리클레의 정리를 연장하여 등차수열 안에 소수의 밀도가 어느정도 되는지, 또 에러텀의 크기는 어느정도 되는지와 같은 토픽들이 자연스럽게 등장하게 된다. 즉, 소수 정리의 등차수열 버전이라고 할 수 있는 다음 정리를 고려하게 된다.

Theorem > (Siegel–Walfisz)
임의의 실수 A에 대해 (a, q) =1이고 q\le (\log x)^A 일 때, 다음이 성립한다.

\displaystyle \sum_{\substack{n\le x\\n\equiv a\pmod{q}}}\Lambda(x) = \frac{x}{\varphi(q)} + O(xe^{-C_A\sqrt{\log x}})

이 정리는 Siegel–Walfisz 정리라고 불리는데, 물론 즉시 디리클레 정리를 유도하게 된다. 게다가 에러텀까지 붙어있어 더 강력하다!! 이 정리는 나중에 약한 골드바흐 추측의 증명 중간에 쓰이므로 그 증명을 디리클레 정리의 카테고리 안에 계속해서 올려보겠다.

 


[1] A. Selberg. “An elementary proof of Dirichlet’s theorem about primes in an arithmetic progression”. Annals Math., 50:297-304, 1949. In Collected Papers, volume I, pages 371-378, Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[2] M. B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, volume 195 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1996.
[3] http://www.math.uiuc.edu/~hildebr/ant/ Lecture Notes p143-144

2 thoughts on “초등적 증명과 해석적 증명의 비교: Siegel–Walfisz 정리

  1. 이미 알고 있을지도 모르지만, 디리클리 정리와 관련해서 또 다른 자연스러운 질문 중 하나로 초항(a)과 공차(q)에 의존해서 주어진 등차수열 상에 최초의 소수를 상한을 찾는 문제가 있는데 Linnik에 의해 최초(?)의 결과가 얻어진 것으로 알고 있음. http://www.math.ubc.ca/~karstenc/Linnik.pdf 참고문헌이고
    공부하면 알려 주세요 ㅋㅋ.

    (근데, 이 블로그의 글들을 보면 아이디가 zariski 보다 selberg가 더 어울리지 않을까 하는 생각이???^^)

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