라마누전의 베르트랑 공준 증명 Ramanujan’s proof of Bertrand’s postulate

이미 증명되었음에도 불구하고 베르트랑의 공준(Bertrand’s postulate)이라는 잘못된 이름으로 알려진 체비세프의 정리(Chebyshev’s theorem)는 다음과 같이 단순하다.

충분히 큰 자연수 n 에 대하여 n2n 사이에는 항상 소수가 존재한다.

이 정리의 증명은 에르되시의 버전이 널리 알려져 있는데, 증명이 매우 초등적이고 ‘충분히 큰’ 자연수 뿐만 아니라 2 이상의 모든 자연수에서도 성립함을 보일 수 있으므로 뛰어나다. 증명의 모든 과정이 위키피디아에 소개되어 있으므로 관심이 있다면 읽어보기 바란다.

그런데 충분히 큰 자연수에 대해서만 보이려면, 이보다 더 간단한 논증으로 증명가능한데, 라마누전 버전으로 증명해 볼까 한다. 이 증명은 Murty책[1]의 내용을 옮긴 것이다.

 


0. some facts >
먼저 다음의 세 가지 사실을 이용한다.
1. 디리클레 정리의 증명 part 2에 있는 정리 2를 이용한다.

\displaystyle \sum_{n \le x} \log n = x\log x -x +O(\log x) …. (1)

2. 소수 정리의 증명 part 1에 있는 정리 3을 이용한다.

\displaystyle \psi(x) = \vartheta(x) + O(\sqrt{x}\log^2 x) …. (2)

3. T(x) 라는 함수를 다음과 같이 정의하자.

\displaystyle T(x) = \sum_{n\le x}\log n

포물선을 따라가며 세로로 더하는 것과 가로로 더하는 것은 같다. 따라서 다음이 성립한다.

\displaystyle T(x) = \sum_{n\le x}\log n = \sum_{de\le x}\Lambda(n) = \sum_{n\le x}\psi\left(\frac{x}{n}\right)

물론 여기서 \psi(x)\Lambda(n) 은 이미 여러번 소개한 Chebyshev functionMangoldt function이다. 이것은 일전에 논의한 Dirichlet’s hyperbola method와 비슷하다.

1. proof of Chebyshev’s theorem >
\psi(x) 는 항상 양수이고 증가함수이므로 다음이 성립한다.

\displaystyle \psi(x) - \psi\left(\frac{x}{2}\right) \le \sum_{n\le x} (-1)^{n-1}\psi\left(\frac{x}{n}\right) \le \psi(x) - \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \psi\left(\frac{x}{3}\right)

그런데 위 부등식의 가운데 부분은 다음과 같다.

\displaystyle T(x) - 2T\left(\frac{x}{2}\right) = \sum_{n\le x} (-1)^{n-1}\psi\left(\frac{x}{n}\right)

(1)에 의해서 다음 두 식이 성립한다.

\displaystyle \psi(x) - \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \psi\left(\frac{x}{3}\right) \ge (\log 2)x + O(\log x)

\displaystyle \psi(x) - \psi\left(\frac{x}{2}\right) \le (\log 2)x + O(\log x)

귀납적 방법을 통해 다음을 얻는다.

\displaystyle \psi(x) \le 2(\log 2)x + O(\log^2 x)

참고로 이 결과는 디리클레 정리의 증명 part 1의 결과보다 더 좋다. 헉 이렇게 간단하게 더 좋은 결과가 나오다니… 켁.

따라서 이 결과를 처음에 부등식에 이용하면 다음 lower bound를 얻는다.

\displaystyle \psi(x) - \psi\left(\frac{x}{2}\right) \ge \frac{1}{3}(\log 2)x + O(\log^2 x)

이제 (2)를 이용하여 다음을 얻는다.

\displaystyle \vartheta(x) - \vartheta\left(\frac{x}{2}\right) \ge \frac{1}{3}(\log 2)x + O(\sqrt{x}\log^2 x)

그러므로 충분히 큰 xx/2 사이에는 소수가 반드시 존재한다.

 


[1] M. Ram Murty, Problems in analytic number theory, GTM 206, Springer Verlag, 2007, Second edition. p38

2 thoughts on “라마누전의 베르트랑 공준 증명 Ramanujan’s proof of Bertrand’s postulate

  1. 오~ 저도 제 블로그에 라마누잔의 베르트랑의 공준의 증명을 올렸는데 여기가 더 명확하네요.^^ 전 좀 애매한 것 같아요

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