“거의 모든” 지수에 관한 페르마의 마지막 정리

어느 선배가 소개해준 논문[1] 인데 두 페이지 밖에 안 되니 심심풀이 삼아 읽어볼만한 이야기를 해 볼까 한다.

 


Faltings의 정리는 꽤 유명한 정리인데, 사실 본인도 증명법은 모르지만-_-, 여하간 genus가 1 보다 큰 non-singular algebraic curve는 유한개의 유리수 점을 지난다는 정리이다. 이로 인해서 페르마의 마지막 정리에서 양변을 z^n 으로 나누어주면 genus가 1 보다 큰 non-singular algebraic curve가 되므로 마지막 정리의 반례는 유한개가 된다는 결론을 얻을 수 있다고 한다.

여하간 이건 뭐 그렇다 치고, 결국 각각의 지수들마다 반례의 가능성은 유한개라는 이야기인데, 그렇다면 실제로 이러한 반례를 갖는 지수들은 얼마나 많은지가 자연스러운 의문이 될 수 있다. 뭐 사실은 와일즈와 테일러의 결과로 인해 하나도 없다는 것이 이미 알려져 있지만, Faltings의 정리의 결과를 이용하여 매우 간단한 계산으로 전체 자연수에서 asymptotic density가 영임을 증명할 수 있다.

즉, 다시 말해서 N(x)x 이하의 자연수들 중 마지막 정리™의 반례를 갖는 지수의 개수라고 정의할 때, N(x) = o(x) 라는 의미이다.

계산은 별거 아니라서 이러한 노력을 가볍게 여길 수도 있겠지만, 작은 힌트에 주목하여 어떤 집합의 밀도가 이 정도일 듯 하다는 감각을 갖는 것이 무척 중요하다고 생각한다. 아무 집합이나 턱 하니 주면 density가 얼마나 될지 쉽게 아이디어가 나오지 않는 법이다. 그런 의미에서 비록 두 페이지 밖에 안 되지만 Heath-Brown 형님날카로운 눈매를 표현하는 괜찮은 논문이라고 생각한다. ㅎㅎ

이 논증은 Heath-Brown[1]의 결과를 그대로 옮긴 것임.

 


일단 소수 지수에 대해서만 생각하면 되므로, 소수 지수만 고려한다. Faltings의 정리에 따르면 각각의 소수에 대해 x^p + y^p = z^p 의 primitive solution(서로 소인 해)은 유한개 뿐이다. 이것들을 각각 x_i , y_i , z_i 라고 하자. 인덱스는 물론 1 \le i \le i(p) 가 된다. 그러면 다음을 정의할 수 있다.

\displaystyle B(p) = \mathop{\text{Max}}_i |x_i y_i z_i |

이제 p 의 배수에 대해 반례가 얼마나 있는지 알아보자. kp 의 반례가 존재한다고 해 보자. 즉, u^{kp} + v^{kp} = w^{kp} 라고 하자. 그러면 \{u^k , v^k , w^k \} = \{x_i , y_i , z_i \} 가 될 것이고, 정의에 의해 |uvw|^k \le B(p) 가 된다. |uvw| \ge 2 이므로, k \le B(p) 가 되어야 한다. 그런데 B(p) 는 고정된 값이므로 k 가 무한정 커질 수 없다. 따라서 필연적으로 pB(p) 보다 큰 p의 배수들에 대해서는 마지막 정리의 반례가 존재할 수가 없다!

요 사실에 주목하여 충분히 큰 x 가 주어질 때, 에라토스테네스 형님의 체를 이용하여 이러한 유한개의 대상들을 잘 걸러보자.

먼저 다음을 세팅한다.
주어진 \epsilon > 0 에 대해 다음 부등식을 만족하는 y = y(\epsilon) 를 고른다.

\displaystyle \prod_{3\le p \le y}\left(1-\frac{1}{p}\right) < \frac{\epsilon}{2}

그리고,

\displaystyle z = z(\epsilon) = \mathop{\text{Max}}_{3\le p \le y}pB(p)

\displaystyle P = \prod_{3\le p \le y} p

라고 하자. 그러면,

\displaystyle \begin{aligned} N(x) & \le z + \#\{n : z < n \le x, (n, P) = 1\} \\ & \le z + \#\{n : n \le x, (n, P) = 1\} \\ & = z + \sum_{n\le x} \sum_{d | (n,P)} \mu(d) \\ & = z + \sum_{d | P} \mu(d)\left[\frac{x}{d}\right] \\ & \le z + \sum_{d | P} \mu(d)\frac{x}{d} + \sum_{d | P} 1 \\ & \le z + x \frac{\varphi(P)}{P} + 2^y \\ & \le z + \frac{\epsilon}{2} x + 2^y \\ & \le \epsilon x \end{aligned}

그리하여 원하는 결과를 얻을 수 있다.

 


[1] Heath-Brown, DR, “Fermat’s last theorem is true for almost all exponents”, Bull. London Math. Soc., 17 (1985), 15–16

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