웨어링의 문제

웨어링의 문제라는게 있다. 이것은 자연수를 거듭제곱들의 합으로 표현하려면 몇 개가 필요한가 하는 문제이다.

예를 들어 모든 자연수를 제곱수들의 합으로 표현하려면 네 개로 충분하다. (Lagrange’s four-square theorem) 이 증명은 포스팅한 블로거가 많으므로[1,2] 생략한다.

또한 모든 자연수를 세제곱수의 합으로 표현하려면 아홉 개로 충분하다. (Wieferich’s theorem) 그런데 재미있게도 아홉 개의 세제곱수가 필요한 자연수는 사실 23과 239 두 개 뿐이다. 충분히 큰 모든 자연수들은 일곱 개의 세제곱수의 합으로 표현가능[3]하다.

그래서 생겨나는 자연스러운 질문은 필요한 거듭제곱수들의 개수가 두 종류가 있다는 것인데, 전체 자연수를 표현하는데 필요한 거듭제곱수들의 개수와 충분히 큰 자연수들을 표현하는데 필요한 거듭제곱수들의 개수가 다를 수도 있다. 이 두 종류의 개수를 각각 g(n)G(n) 이라고 쓰기로 하자. 즉, 위에 서술한 말을 간단하게 쓰면 g(2) = 4 , g(3) = 9 , G(3) \le 7 이 된다.

그런데 어떤 특수한 n 의 경우 g(n) 이 존재하지 않을 수도 있는가? 그런데 항상 존재한다. 이게 Hilbert–Waring 정리이다.

현재까지 알려진 결과에 의하면 g(2) = 4 , G(2) = 4, g(3) = 9, 4 \le G(3) \le 7 이다. 애석하게도 G(3) 의 정확한 값은 아직 알려져 있지 않다.

 


[1] http://cjackal.tistory.com/192
[2] 라그랑즈의 네제곱수 정리와 그 증명(Four square theorem) by Psi
[3] 내 백과사전 454보다 큰 모든 자연수는 일곱개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능하다 2016년 1월 20일

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