People v. Collins – 재판정에서의 수학

이 글은 [1],[2]를 참조하여 본인이 편집하여 쓴 글입니다.

 


1964년 6월 18일 오전 11시 30분경 쇼핑을 하고 돌아오는 Juanita Brooks는 로스 앤젤레스의 San Pedro지역의 인도를 걷고 있었다. 그녀는 장바구니를 뒤쪽에 끌고 가고 있었고 물건을 담은 더미위에 지갑을 놓아두었다. 떨어뜨린 물건을 주우려고 하는 순간, 갑자기 누군가 뒤를 밀어서 넘어졌고, 고개를 들었을 때 젊은 여자의 달려가는 뒷모습을 보았다. 이후 그녀의 증언에 따르면 몸무게 145파운드 정도에 중간정도 밝기의 금발인 어두운 색 옷을 입은 여자였다. 직후 Brooks는 35에서 40달러 정도의 돈이 든 지갑이 사라진 것을 발견했다.

사건이 발생한 그 순간 집 앞에서 잔디에 물을 주던 John Bass는 도둑에게 외치는 비명소리에 고개를 돌렸고, 어떤 여자가 노란색 승용차에 타는 것을 목격했다. 그는 자동차의 메이커는 몰랐지만 운전자가 콧수염과 턱수염이 있는 흑인이라는 것을 알아챘다. Bass의 증언에서 그 여자는 키 5피트 정도의 보통체격인 백인이었고 어두운 금발의 포니테일 머리에 어두운 색의 옷을 입고 있었다. 경찰이 22일 촬영한 Janet의 사진을 보여주자 그는 비슷하다(“just like”)라고 대답했다.

사건이 있던 날 Janet Louise Collins은 San Pedro지역의 어느 집에 가정부로 일하고 있었고, 그의 고용주는 그녀가 오전 8시 50분에 출근해서 약 11시 30분 쯤 그녀의 남편이자 피고인 Malcom Ricardo Collins가 운전하는 밝은 노란색 차를 타고 갔다고 증언했다.

피고가 범인이라고 추측할 만한 많은 증거가 있었고, 직장에서 나와 범죄를 저지를 충분한 시간이 있었지만, 피고는 퇴근 후 바로 친구의 집에 갔고 거기서 수 시간을 머물렀다고 증언했다.

7일간의 공판이 있었으나 범죄를 증명하기에는 몇 가지 어려움이 있었다. 피해자는 Janet을 확인할 수 없었고, 그 남편인 피고는 본 적도 없었다. Bass는 목격한 여자가 Janet인지 확신할 수 없었고, 피고의 확인에도 우유부단하게 말했다. 피고의 변호사는 그날 밝은 색의 옷을 입었다고 주장했고, 목격자들은 어두운 색의 옷을 봤다고 증언했다.

사건의 확인을 위해 검사는 주립대학의 수학전임강사(instructor)에게 문의했다. 범인은 누구인지 확인할 수 없지만, 금발의 포니테일을 한 백인여성 및 콧수염과 턱수염이 있는 노란색 차를 소유한 흑인이 저질렀다. 이를 바탕으로 각 인상착의의 통계적 확률을 산출했다.

    노란색 차일 확률 1/10
    콧수염이 있는 남자일 확률 1/4
    포니테일을 한 여자일 확률 1/10
    금발의 백인여성일 확률 1/3
    턱수염이 있는 흑인일 확률 1/10
    서로 다른 인종이 커플이 될 확률 1/1000

이 모든 확률은 독립적이고 동시에 발생해야 하므로, 확률의 곱의 법칙에 의해 모두 곱하면 12,000,000분의 1이 된다. 검사는 이 확률은 매우 낮은 확률이며 인상착의가 동일한 용의자는 범인일 수밖에 없다고 주장했고, 결국 유죄판결이 내려졌다.

물론 검사는 매우 의심스럽고 이의를 제기할 만한 많은 암묵적 가정을 하고 있으나, 위에서 주어진 확률과 검사의 계산방법에서 설정한 가정을 모두 받아들이더라도 검사는 수학적인 오류를 범하고 있다. 다음 계산을 통해 확인해 보도록 하자.

위 인상착의와 동일한 사람이 발견되는 사건을 R 이라 하고 그 확률을 p 라 하자. 즉, P(R)=p 다. R 이 적어도 한 번 이상 일어나는 사건을 A 라 하고 단 한 번만 일어나는 사건을 B 라 하자. 이미 용의자가 잡혔으므로 사건 A 는 발생하였다. 따라서 조건부 확률 P(B|A) 를 구해보면 조건부 확률 공식과 이항분포 사건의 계산법에 의해 아래와 같이 된다.

\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A \cup B)}{P(A)} = \frac{Np(1-p)^{N-1}}{1-(1-p)^N} (N은 시행회수)

그래서 1에서 이 값을 빼면 인상착의가 같은 또 다른 커플이 존재할 확률이 된다.
가정에 의해 N 은 큰 수 이고 p 는 작은 수인데 두 수의 곱이 비슷하면, p=1/N이라 두고 다음과 같은 간단한 계산을 수행할 수 있다.

\displaystyle \lim_{N\to\infty} (1- P(B|A)) = \lim_{N\to\infty}1- \frac{(1-1/N)^{N-1}}{1-(1-1/N)^{N}} = 1- \frac{1/e}{1-1/e} = \frac{e-2}{e-1}

이 된다. 이 값은 대략 0.418 정도 되므로 오차를 감안하더라도 같은 인상착의의 커플이 존재하지 않을 확률이 유죄판결을 내릴 만큼 충분히 낮지 않음을 알 수 있다. 컴퓨터를 이용하여 실제로 p=1/12000000, N=4000000 을 대입하여 계산해보면 1- P(B|A) 의 값은 대략 15% 이상이 나온다.

실제로 캘리포니아 고등법원은 1심의 판결을 뒤집어 무죄를 선고했다.

 


[1] http://www.law.berkeley.edu/faculty/sklansky/eviden … 0v.%20Collins.htm
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/People_v._Collins

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2 thoughts on “People v. Collins – 재판정에서의 수학

  1. N이 충분히 크다는 말의 뜻은, 1/120000000 은 엄청 작은 확률이지만 세상이 워낙 커서 그런 사람 꽤 많다는 뜻인가요?

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