신기한 Euler characteristic

대수적 위상수학을 공부하다보니 신기한걸 배웠다. Euler characteristic이 뭔지는 다들 아실 터인데, homology가 finite generated이면 이걸 이렇게 계산할 수도 있다.

\displaystyle \chi(X) = \sum_n (-1)^n \text{rank} H_n (X;\mathbb{Z})

오… 근데 더 이상한 것은 coefficient를 아무 field나 바꿔도 그 값이 변하지 않는다. 즉,

\displaystyle \chi(X) = \sum_n (-1)^n \text{dim} H_n (X;F)

오오오… 근데 사실 이건 Hatcher 연습문제(p267)에 있는 거다. ㅋ

이게 Field characteristic이 영이 아닐 때도 성립한다는게 좀 신기한 점인데, 본인은 잘 풀지 못해서 여차저차 물어서 여하간 답을 구했다… 흑흑… 심심한 분들은 증명 한 번 해 보시길.

 


field characteristic이 영인 경우는 그냥 rank가 dim이 된다. 왜냐하면 homology의 universal coefficient theorem에 의해,

\displaystyle H_n(X;F) \cong (H_n (X) \otimes F) \oplus \text{Tor}(H_{n-1}(X),F)

인데, F 의 torsion part가 없으므로 우측의 Tor가 죽는다. finitely generated 이므로 fundamental theorem of finitely generated abelian group에 의해 H_n(X) 가 free part랑 torsion part로 나누어진다. 즉,

\displaystyle H_n(X) \cong \mathbb{Z}^m \oplus T_n

근대 tensor의 분배법칙으로 분배하면, 역시 우측 torsion part는 몽땅 죽고, \mathbb{Z} 는 tensor 하나 안 하나 똑같으므로 \mathbb{Z} 의 개수만큼 field 가 겹친다. 즉,

\displaystyle H_n(X;F) \cong F^m

그래서 rank랑 dim이랑 같아진다.

이제, field의 characteristic이 영이 아닐 때가 문제인데, characteristic을 p 라 하자. 다시 universal coefficient theorem으로 돌아가면,

\displaystyle H_n(X;F) \cong ((\mathbb{Z}^m \oplus T_n) \otimes F) \oplus \text{Tor}(\mathbb{Z}^m \oplus T_{n-1} ,F)

먼저 앞부분부터 확인해보면, tensor의 분배법칙으로 분배해주면 일단 field가 rank의 개수만큼 나오고, torsion part에서 \mathbb{Z}_n \otimes F \cong F/nF 라는 사실을 이용하면 field는 n 배 해도 똑같으므로 이빨이 맞지 않으면 사라진다. 따라서 torsion part 중에서 field의 characteristic이랑 같은 prime의 power꼴을 제외하면 모두 죽는다. 그래서 torsion part의 p^i 의 개수만큼 더 늘어난다. 음음.. 말로 때우는 느낌… ㅋ

이제 Tor를 확인해보면, Tor 안의 free part는 그냥 사라지므로 \mathbb{Z}^m 부분이 그냥 떨어져 나간다. 즉,

\displaystyle \text{Tor}(\mathbb{Z}^m \oplus T_{n-1} ,F) \cong \text{Tor}(T_{n-1} ,F)

근데 \text{Tor}(\mathbb{Z}_n , A) \cong \text{Ker}(A \xrightarrow{n} A) 가 성립한다는 사실을 이용하는데 여기서 A \xrightarrow{n} A 는 abelian group을 n 배 하는 map이다. 이게 왜 성립하냐 하면, exact sequence 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n \to 0 에 전부 A 를 tensor 해주면 쉽게 얻는다. 여하간, n 이랑 p 랑 이빨이 안 맞으면 몽땅 죽고, n = p^i 꼴만 빼고 모두 사라져야 한다. 그래서 역시 field가 torsion part의 p^i 의 개수만큼 더 늘어난다.

그래서 n 번째 homology의 torsion part 안에서 \mathbb{Z}_{p^i} 꼴의 개수를 a_n 이라쓰면,

\displaystyle \begin{aligned} \sum_n (-1)^n \text{dim} H_n (X;F) & = \sum_n (-1)^n (\text{rank} H_n (X) + a_n + a_{n-1}) \\ & = \sum_n (-1)^n \text{rank} H_n (X) + a_0 + (-1)^n a_n \\ & = \chi(X) + a_0 + (-1)^n a_n \end{aligned}

맨 첫 텀이랑 맨 마지막 텀만 빼고는 왔다갔다 더하고 빼면서 모두 사라진다. 자, 이제 뒤 찌꺼기 처리를 해 봅시다.

사실 H_0(X) 는 connected component로 generated 되는 abelian이므로 torsion part가 없다. 그래서 a_0 =0 이 성립한다. 그리고 H_n(X) 를 계산할 때, complex chain의 맨 앞부분을 봐야되는데,

\displaystyle 0 \to C_n(x) \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1}(X) \xrightarrow{\partial_{n-1}} \cdots

가 되는데, H_n(X) = \text{Ker }\partial_n 이므로 역시 torsion part가 없다. 그래서 a_n =0 이다. 여하간 결론은 오일러 형님은 킹왕짱 ㅋ

 


참고로 생물학에서의 homology는 비교 생물학에서 다른 생물간에 같은 진화적 기원을 가지는 부분을 가리키는 용어라고 한다. ㅋ

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