Integral version of Minkowski’s inequality

Zygmund 책[1] 연습문제 챕터 8 연습문제 8번

1 \le p < \infty 일 때,

\displaystyle \left[ \int \left| \int f(x,y) dx \right|^p dy \right]^{1/p} \le \int \left[ \int |f(x,y)|^p dy \right]^{1/p} dx

을 증명하시오.

책에 힌트대로 하면 쉽다. 그냥 이런 계산도 있구나 싶어서….

풀이

\displaystyle \begin{aligned} \int \left| \int f(x,y) dx \right|^p dy & = \int \left| \int f(x,y) dx \right|^{p-1} \cdot \left|\int f(x,y)dx \right| dy \\ & \le \int \left| \int f(z,y) dz \right|^{p-1} \cdot \int |f(x,y)| dx\; dy \\ & = \int \int \left| \int f(z,y)dz \right|^{p-1} \cdot |f(x,y)| dx\; dy \\ & = \int \int \left| \int f(z,y)dz \right|^{p-1} \cdot |f(x,y)| dy\; dx \\ & \le \int \left( \int \left( \left| \int f(z,y)dz \right|^{p-1} \right)^{\frac{p}{p-1}}dy \right)^{\frac{p-1}{p}} \cdot \left( \int |f(x,y)|^p dy \right)^{\frac{1}{p}} dx \\ & = \int \left( \int \left| \int f(z,y)dz \right|^{p} dy \right)^{\frac{p-1}{p}} \cdot \left( \int |f(x,y)|^p dy \right)^{\frac{1}{p}} dx \\ & = \left( \int \left| \int f(z,y)dz \right|^{p} dy \right)^{\frac{p-1}{p}} \cdot \int \left( \int |f(x,y)|^p dy \right)^{\frac{1}{p}} dx \end{aligned}

셋째 줄에서 넷째 줄로 갈 때 Tonelli’s theorem을 썼고, 다섯 번째 줄로 갈 때 Hölder’s inequality 썼다.

여하간 여기서 양변을 두 개중 앞쪽 팩터로 양변을 나누면

\displaystyle \left( \int \left| \int f(x,y) dx \right|^p dy \right) \left( \int \left| \int f(z,y)dz \right|^{p} dy \right)^{\frac{1-p}{p}} \le \int \left( \int |f(x,y)|^p dy \right)^{1/p} dx

이므로 원하는 부등식이 나온다.

 


[1] Richard L. Wheeden & Antoni Zygmund, Measure and Integral – An introduction to Real Analysis, Dekker, 1977

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One thought on “Integral version of Minkowski’s inequality

  1. 참고로 이거 임의의 positive measure으로 확장한 버젼도 있습니다. 저같은 경우에는 이런 거 생각하기 힘들어서 그냥 합 형식의 Minkowski’s inequality에서 귀찮길래 simple function에 대해서 증명한 다음 [약간의 계산을 거쳐서]monotone convergence theorem을 써버렸는데요 으익

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