Jordan Curve Theorem의 homology를 이용한 증명

조르당 곡선정리라는게 있는데, 이게 뭐냐하면 자신과 만나지 않는 연속된 루프는 평면을 두 부분으로 나눈다는 정리이다. 쉽게 말해서 종이를 동그랗게 오리면 두 조각이 된다는 정리이다.

위키피디아에 있는 그림을 이용해서 설명해보면, 우측 그림과 같은 simple closed curve는 평면을 분홍색 부분과 하늘색 부분으로 나눈다.

거 뭐 당연한 소리구만! 라고할 수도 있지만, 증명하기에 꽤 까다롭다고 들었다. 어릴 때부터 이 정리에 대한 이야기를 종종 들었을 때, 엄청엄청 길고 어려운 증명이구나 라고 생각했는데, 막상 호몰로지를 배우니 생각외로 증명이 길지 않았다. (몇 가지 정리를 받아들인다는 가정 하에 ㅎㅎ)

아악! 나의 조르당 곡선 정리는 그러지 않아!! 뭐 이런건 아니고… -_- 여하간 본인이 이해한 데 까지만 소개해본다.

사실 Hatcher 책[1]을 보고 베끼는 거지만 웬만한 대수적 위상수학 책에는 거진 다 나와있을 듯 하다. ㅎ

 


Notation >
D^nn-dimensional disk(ball), S^nn-dimensional sphere(circle)이다. H(X) 는 homology group이고 \tilde{H}(X) 는 reduced homology group이다. I^kk-dimensional unit cube(interval, square) 이다.

\varinjlim Direct limit이다.

Theorem 1 >
embedding h: D^k \to S^n 이 주어질 때, 모든 i 에 대해 \tilde{H}_i(S^n - h(D^k)) =0 이다.

이게 h(D^k)contractable이니 증명이 졸라 쉬울 것 같지만, 어떤 대상이 가진 성질이 그 complement에서도 그대로 통한다는 보장이 있는 건 아니다. 예를 들어 알렉산더의 뿔달린 구(Alexander horned sphere)가 대표적인 예인데, 그 자체는 simply connected 이지만 그 complement는 simply connected가 아니다. 그래서 이 정리의 증명도 당연하다로 끝나는 수준은 될 수 없다.

proof of theorem 1 >
unit ball 대신 unite cube를 쓰는 편이 쉬우니 cube를 바꿔서 증명한다.

k 에 대해 induction을 쓰자. k=0 이면 점 하나를 빼내는 것이니 contractable이다. 따라서 성립한다.

k-1 까지는 참이라 치자. 즉, \tilde{H}_i (S^n - h(I^{k-1}) = 0 이 된다. 두 개의 대상을 정해 Mayer–Vietoris sequence를 쓰려고 한다. 참고로 Leopold Vietoris는 위키에 따르면 110년 309일을 살아서 오스트리아 사람 중에서 최장수 기록을 가지고 있다고 한다. ㅋ

unit cube의 한 변을 반으로 잘라서 A = S^n - h(I^{k-1} \times [0, 1/2]), B = S^n - h(I^{k-1} \times [1/2, 1]) 이라고 두자. A \cap B = S^n - h(I^{k}) 이 되고, A \cup B = S^n - h(I^{k-1}) 이 된다. 이제 Mayer–Vietoris sequence를 적용하여 다음 sequence를 얻는다.

\begin{gathered} \cdots \to \tilde{H}_{i+1} (S^n - h(I^{k-1})) \to \tilde{H}_i (S^n - h(I^{k})) \xrightarrow{\Phi} \tilde{H}_i(A) \oplus \tilde{H}_i(B) \quad \\ \hfill \to \tilde{H}_i (S^n - h(I^{k-1})) \to \cdots \end{gathered}

그런데 가정에 의해 두 개씩 뛰어서 영이므로 \Phi 가 isomorphism이 된다. 그런데 만약 \tilde{H}_i (S^n - h(I^{k})) 에 nonzero element가 있다면, isomorphism이므로 \tilde{H}_i(A) \oplus \tilde{H}_i(B) 에서도 영이 아니다. 따라서 \tilde{H}_i(A) 또는 \tilde{H}_i(B) 중의 하나는 영이 되지 않는다.

그리하여 interval이 반으로 줄어들었지만 homology가 nonzero인 도형을 얻을 수 있다 ㅋ 이런 과정을 반복하면 interval 은 줄이면서 nonzero element를 캐낼 수 있다. homology가 nonzero인 것들을 차례로 A_1, A_2, … 이라고 두면,

A_1 \subset A_2 \subset A_3 \cdots

뭐 이런 식으로 내려간다. nested closed interval은 한 점이 되고, \varinjlim A_j = S^n - h(I^{k-1}) 이 된다. homology group의 direct limit와 direct set의 direct limit의 homology는 같으므로

\tilde{H}_i(S^n - h(I^{k-1})) \cong \tilde{H}_i(\varinjlim A_j) \cong \varinjlim \tilde{H}_i(A_j) \cong \tilde{H}_i(S^n - h(I^{k}))

그래서 모순이 되므로 정리가 성립한다.

Theorem 2 >
embedding h: S^k \to S^n 이 주어질 때, i=n-k-1 이면 \tilde{H}_i(S^n - h(S^k)) =\mathbb{Z} 이고 나머지는 영이다.

proof of theorem 2 >
마찬가지로 k 에 대해 induction을 쓰자. S^0 는 두 점이고, k=0 일 때는 두 점을 빼는 것이므로, S^n - h(S^k)S^{n-1} 이랑 homeomorphic이 된다.

이제 k > 0 일 때는, S^k 의 upper hemisphere U 랑 lower hemisphere L 을 분리해서 Mayer–Vietoris sequence를 적용한다. U \cap L = S^k 이고 U \cup L = S^{k-1} 이므로

\begin{gathered} \cdots \to \tilde{H}_{i+1} (S^n - h(S^{k-1})) \xrightarrow{\Phi} \tilde{H}_i (S^n - h(S^{k})) \to \tilde{H}_i(S^n - U) \oplus \tilde{H}_i(S^n - L) \quad \\ \hfill \to \tilde{H}_i (S^n - h(S^{k-1})) \to \cdots \end{gathered}

그런데 위의 theorem 1에서 \tilde{H}_i(S^n - U) \cong \tilde{H}_i(S^n - L) \cong 0 이므로 \Phi 가 isomorphism이 된다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

Corollary 3 > Jordan Curve Theorem
그래서 결국 Jordan Curve Theorem은 S^{2} -S^1 의 component의 개수를 세는 것이고, 이것은 \text{rank}H_0 (S^2 -S^1) 가 된다. 위 정리에 n=2, k=1 을 대입하면, H_0 (S^2 -S^1) \cong \mathbb{Z}^2 가 되고, 그래서 두 조각이 된다. ㅋ

 


[1] Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, Cambridge

6 thoughts on “Jordan Curve Theorem의 homology를 이용한 증명

  1. 오 Homology를 이용하다니 왠지 복소해석을 그냥 통으로 써버린 증명법보다 훨씬 거 간단하군요 으익 algebraic topology를 좀 공부하면 재밋을 것 같군요 ㅋ 참고로 저는 지금 딴 데로 새서 아직까지 analytic number theory를 전공으로 한답시고 functional analysis를 하려고 하고 있고 abstract measure theory나 끄적이고 있습니다 으익 Harmonic analysis도 하려고 하고 있고요 이러다가 대학교 갈 때 대수쪽 어쩔려고 ㅠ

  2. 핑백: Pomp On Math & Puzzle

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