g(3)=9 part 3 : Wieferich-Kempner theorem

뭔가 오랫만의 포스팅이지만 딴지는 사양한다-_- 이 내용은 Nathanson[1]의 내용을 이용하여 본인 나름대로 변경하여 옮긴 것임.

 


1. theorem >
8^{10} 보다 큰 자연수는 아홉 개의 세제곱수의 합으로 표현가능하다.

1-1. proof of theorem 1 > part 1
N > 8^{10} 이 주어졌다고 하자. 이제 이 수를 아홉 개의 세제곱수로 표현할 것이다. 여기서 차례로 세제곱수를 빼면서 크기를 줄여보자.

먼저 주어진 값에 대해 일반항이 N_i = N - i^3 인 유한수열을 생각할 수 있다. 물론 i = 0, 1, \cdots , \lfloor N^{1/3} \rfloor 이다. 이와 같이 세제곱수를 뺀 수열 중에서 적절한 놈을 선택하고 나면, 그 값의 크기를 estimate해야 할 필요가 생긴다.

일단 8\cdot 8^{3k} < N \le 8\cdot 8^{3(k+1)}k \ge 3 를 항상 찾을 수 있다. 이 N 의 lower bound 8\cdot 8^{3k} 보다 큰 수를 유한수열 안에서 선택한다. 즉, N_{j+1} < 8\cdot 8^{3k} \le N_j 가 성립하는 j 가 존재하고, j \ne 0 이므로 N_{j-1} 이 존재한다. 또한, N_jN_{j-1} 중에 하나는 반드시 홀수이다. 이 값을 N_a 라고 하자.

N_a 의 크기는 다음과 같이 bound 된다. j \le \lfloor N^{1/3} \rfloor \le 2\cdot 8^{k+1} 이므로,

\begin{aligned} N_a \le N_{j-1} & = N_{j+1} + (j+1)^3 - (j-1)^3 \\ & = N_{j+1} + 6j^2 +2 \\ & < 8\cdot 8^{3k} + 3\cdot 8^{2k+3} +2 \\ & < 11\cdot 8^{3k}\end{aligned}

정리하면, 크기순서대로 다음과 같게 된다.

N_{j+1} < 8\cdot 8^{3k} \le N_j \le N_a \le N_{j-1} < 11\cdot 8^{3k}

1-2. proof of theorem 1 > part 2
N_a 는 홀수이므로 part 1의 lemma 2에 의해, 다음을 만족하는 홀수 b \in [1, 8^k-1] 가 존재한다.

N_a = N - a^3 \equiv b^3 \pmod{8^3}

따라서 세제곱수를 한 번 더 뺄 수 있다. 이 남은 값의 크기는,

7\cdot 8^{3k} = 8\cdot 8^{3k} -8^{3k} < N - a^3 - b^3 < N_a < 11\cdot 8^{3k}

와 같이 bound된다. 그리고 위 congruence에 의해

N - a^3 - b^3 = 8^k q

인 정수 q 가 존재하고, 이 값의 범위는

7\cdot 8^{2k} < q < 11\cdot 8^{2k}

가 된다. 여기서 r = q - 6\cdot 8^{2k} 이라고 두자. 그러면, 22^3 < 8^6 \le 8^{2k} < r < 5\cdot 8^{2k} 이므로 part 1의 lemma 3 에 의해 r = d^3 + 6m 의 꼴로 표현가능하다. 여기서 0 \le d \le 22 이고 m 은 세 개의 제곱수의 합으로 표현된다.

이제, part 1의 lemma 1을 적용하기 위해 적절한 A 를 찾을 필요가 있는데, 8^k = A 라고 두면,

\displaystyle m \le \frac{r}{6} < \frac{5\cdot 8^{2k}}{6} < A^2

이므로 lemma 1을 적용할 수 있다. 따라서,

\begin{aligned} N & = a^3 + b^3 + 8^k q \\ & = a^3 + b^3 + 8^k(6\cdot 8^{2k} + r) \\ & = a^3 + b^3 + 8^k(6\cdot 8^{2k} + d^3 + 6m) \\ & = a^3 + b^3 + (2^k d)^3 + 8^k(6\cdot 8^{2k} + 6m) \\ & = a^3 + b^3 + (2^k d)^3 + 6A(A^2 + m) \end{aligned}

마지막 항 6A(A^2 + m) 은 part 1의 lemma 1에 의해 여섯 개의 세제곱수의 합으로 표현된다. 따라서 N 은 아홉 개의 세제곱수로 표현가능하다.

2. theorem >
40000 보다 크고 8^{10} 보다 작은 자연수는 아홉 개의 세제곱수의 합으로 표현가능하다.

2-1. proof of theorem 2 >
이 부분의 증명에서 [1]책이 틀렸다고 생각했는데, 다시 보니 내가 틀리고 책이 맞다. 그래서 포스트를 수정함.

part 1의 lemma 4에서 10000이상 40000이하의 자연수는 여섯 개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능하므로, 10000이상 40000이하가 되도록 적절히 세 개의 세제곱수를 빼주면 증명이 끝난다.

주어진 값을 N < 8^{10} 이라 하자. 일단 이 주어진 값에서 세제곱수를 뺀 값이 10000에 아주 가깝도록 다음과 같이 세팅한다.

\displaystyle a = \lfloor (N- 10000)^{1/3} \rfloor

그러면 다음 부등식이 성립한다.

\displaystyle N-(a+1)^3 < 10000 \le N -a^3

이제 여기서 만약 N - a^3 이 40000보다 작으면 문제는 해결된다. 문제는 40000보다 클 경우인데, upper bound를 계산해보자. 만약 d = (a+1)^3 -a^3 라고 두면 d = 3a^2 +3a +1 < 4a^2 < 4N^{2/3} 가 성립하므로 다음 부등식이 성립한다.

\displaystyle N-a^3 = N-(a+1)^3 +d < 10000 + 4N^{2/3}

이 값은 40000에 비해 지나치게 크므로 좋지 않다. 따라서 남은 N - a^3 에 대해 동일한 작업을 한 번 더 해 준다. 즉,

\displaystyle b = \lfloor (N -a^3 - 10000)^{1/3} \rfloor

이라고 둘 때, N - a^3 -b^3 이 40000보다 작으면 문제는 해결된다. 만약 아니라면 upper bound는 동일한 계산에 의해 다음과 같다.

\displaystyle N-a^3 -b^3 < 10000 + 4(N-a^3)^{2/3}

이 값도 여전히 40000에 비해 크므로 한 번 더 한다. 즉,

\displaystyle c = \lfloor (N -a^3 - b^3 - 10000)^{1/3} \rfloor

이라고 두면,

\displaystyle N-a^3 -b^3 -c^3 < 10000 + 4(N-a^3-b^3)^{2/3}

이 된다. 그런데 이 upper bound는 값이 그리 크지 않다. 즉,

\displaystyle \begin{aligned}10000 + 4(N-a^3-b^3)^{2/3} & < 10000 + 4\left( 10000 + 4\left(10000 + 4N^{2/3}\right)^{2/3}\right)^{2/3}\\ & < 10000 + 4\left( 10000 + 4\left(10000 + 4\left(8^{10}\right)^{2/3}\right)^{2/3}\right)^{2/3}\\ & \approx 19415.21638 < 20000 \end{aligned}

따라서 8^{10} 이하의 자연수는 세 번만 빼면 10000이상 40000이하의 자연수로 만들 수 있고 따라서 part 1의 lemma 4에 의해 8^{10} 이하의 자연수는 아홉 개의 세제곱수의 합으로 표현가능하다.

지금까지 정리들을 종합하면 모든 자연수는 아홉 개의 세제곱수의 합으로 표현가능함을 알 수 있다.

 


[1] Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag.

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