광달거리의 계산

항로표지의 용어로서 광달거리란 광파표지로부터 빛이 도달하는 최대거리를 말한다. 즉, 조선자가 등광을 인식할 수 있는 최대거리를 말한다.

항로표지 기능사 교재를 보면 광달 거리는 크게 지리학적 광달거리광학적 광달거리로 나누는데, 이 지리학적 광달거리 계산법이 독특하다. 기능사 교재에는 다음과 같은 공식으로 설명되어 있다. 등대의 해수면 고도가 H 이고, 관측자의 해수면 고도가 h (단위 : 미터)일 때, 지리학적 광달거리(\alpha, 단위 : 해리)는

\alpha = 2.083(\sqrt{H}+\sqrt{h})

라고 되어 있다. 그런데 이 식은 어떻게 나온 것일까? 책에는 유도과정이 없지만 간단하게 추측해보자. 지구가 구형이므로 일정한 두 높이에서 서로를 마주보려면, 두 높이를 이은 직선이 지구의 접선을 형성하면 된다. 즉, 피타고라스 정리를 활용하여 지구의 반지름을 R 이라 하면, 접선의 길이는

\begin{aligned} \sqrt{(R+H)^2 - R^2} + \sqrt{(R+h)^2 - R^2} &= \sqrt{H(2R + H)} + \sqrt{h(2R + h)} \\ & \approx \sqrt{2R}(\sqrt{H} + \sqrt{h}) \end{aligned}

이다. 여기서 R 에 비해 H, h 의 값은 작으므로 근사를 이용하였다. 여기서 단위는 모두 미터이므로 마일(1.852km)로 환산한다. 참고로 해상의 마일(해리)은 지상의 마일(1.609km)과 다르다. 따라서 지구 반지름은 약 6400000m 이므로

\displaystyle \frac{\sqrt{2R}}{1852} \approx 1.932

가 나온다. 이 값은 위의 비례 상수와는 약간 차이가 있다. 어찌된 일일까? 교재의 해설에 따르면 대기의 밀도차에 의해서 빛이 약간 만곡한다고 한다. 즉 지구의 곡률을 따라 빛이 어느정도 구부러지기 때문에, 선상의 사람은 기하학적 결과보다 더 먼 거리의 빛을 인지할 수 있다고 한다. 아무리 그래도 소수점 이하 세 자리는 좀 오버한게 아닌가 싶기도 하다. ㅋ 교재에서는 일일히 계산하기 귀찮은 사람을 위해 표도 제공된다. ㅎㅎ

 


다음으로 소개할 내용이 야간 광학적 광달거리인데, 이건 대기에 의해 빛이 산란, 흡수되므로 보이지 않게 되기까지의 최대 거리다. 이건 항로표지 교재에 다음과 같은 공식이 소개되어 있다.

\displaystyle E = I\cdot \frac{T^d}{(1852\cdot d)^2}

E : 항해자의 눈에 있어서의 조도의 역치 (2 \times 10^{-7} 룩스)
I : 표지 등화의 광도 (단위 : 칸델라)
d : 광학적 광달거리 (단위 : 해리)
T : 대기투과율 (해리당의 값으로 0.85, 명목적 광달거리의 경우 0.74)

여기서 항해자의 역치는 항해 안전을 위해 실제 엄밀한 역치보다 약간 높은 값을 쓴다고 한다. 그리고 대기투과율 0.85는 실제로 매우 맑은 상태가 아니면 나오기 어려운 수치라고 한다. 여하간 지구과학인지 물리학인지 모르겠지만 여하간 배경지식이 없어서 이 공식은 어떻게 나온건지 잘 모른다… -_-

여쨌든 위 식에서 필요한 값은 d 인데, 의외로 손으로 풀기 어렵다. 미지수가 지수와 밑에 모두 섞여 있어서 대수적으로 다루기 어렵게 된다. Maple로 그래프를 그려보자.

따라서 1000 칸델라부터 10000 칸델라 범위에서 약 9 해리부터 14 해리에 걸쳐 등대가 보임을 알 수 있다. 교재의 그래프와 거의 일치한다.

실효광도의 계산법도 참고바람.

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