실효광도의 계산 effective luminous intensity

광도(Luminous intensity)는 광원의 밝기를 말하고 단위는 칸델라(cd)이다. 조도(Illuminance)는 비춰진 빛의 밝기를 말하고 단위는 럭스(lx)이다.

부동광(연속광)(fixed (continuous) light)은 움직이지 않고 지속적으로 일정하게 빛을 전송하는 광원을 말하고, 섬광은 지속시간이 짧은 빛을 말한다. 통상 광파표지로 활용되는 등대는 넓은 범위를 커버해야 하므로 회전식 등명기를 사용하는 경우가 많다. 따라서 선박의 항해자는 부동광이 아닌 섬광을 관측하게 된다.

등대에서 선박을 향해 빛을 보낼 때, 부동광으로 승선자가 빛을 겨우 인지할 정도(눈에 대한 광학적 역치)의 거리라면 섬광일 경우에는 인지할 수 없다. 뭐 이건 상식적으로 그럴법하다. ㅎㅎ 따라서 단순히 등대에서 보내는 빛의 밝기만 고려해서는 등대의 기능을 파악할 수 없다. 그래서 어떤 섬광이 실제로 얼마나 밝은가를 필요가 있는데, 이것이 실효광도이다.

그렇다면 섬광으로 같은효과를 내려면 어느 정도의 광도가 필요한지에 대한 수치젹 관계식을 얻어낼 수도 있을 것인데, 이러한 계산법으로는 항로표지 교재에 의하면 서로 다른 세 가지의 방법이 있다고 한다. 아래 포스트 작성시 다음링크도 참조하였다.
http://www.iala-aism.org/chapo/publications/documentspdf/doc_230_eng.pdf

 


어떤 광원이 시간 t_1 에서 t_2 까지 우측 그래프와 같이 I(t) 만큼 빛을 낸다고 하자. 그래프의 가로축은 시간이고 세로축은 밝기가 된다. 밝기의 단위는 칸델라(cd)이다.

1. 슈미트-크라우젠방식(Method of Schmidt Clausen)

실효광도를 다음과 같은 식으로 계산한다.

\displaystyle I_e = \frac{J}{C + \frac{J}{I_o}}

여기서,
I_e : 실효광도(cd)
I_o : 섬광하는 순간의 최대 광도(cd)
J : 광도의 시간 적분량(단위는 칸델라ㆍ초). 즉, 다음과 같이 계산된다.

\displaystyle J = \int_{t_0}^{t_1}I(t) dt

C : 시각의 시정수(visual time constant)(밤 0.2초, 낮 0.1초)

그러나 지속시간이 길 경우 다음과 같은 식이 더 편리할 때도 있다고 한다.

\displaystyle I_e = \frac{I_o \cdot \tau}{\frac{C}{F} + \tau}

여기서,
\tau : 총 섬광시간. 당연히 \tau = t_1 - t_0 이다.
F : 형상계수(Schmidt-Clausen form-factor)이고 다음과 같이 계산한다.

\displaystyle F = \frac{1}{I_o \tau}\int_{t_0}^{t_1}I(t) dt

책에는 설명이 없지만 위 두 식은 사실 정확히 똑같은 식이다. 위 식의 분모분자에 F = J/(I_o \tau) 를 곱하면,

\displaystyle I_e = \frac{I_o \cdot \tau}{\frac{C}{F} + \tau} = \frac{I_o \tau F}{C + \tau F} = \frac{J}{C + \frac{J}{I_o}}

2. 알라드 방식(Method of Allard)

이 방식은 순간적 광도 I(t) 와 순간적인 실효광도 i(t)의 관계식을 가정한다. 등명기의 순간 광도와 순간 실효광도의 차가 시간에 대한 순간 실효광도의 변화율에 비례한다고 가정하면, 다음과 같은 미분방정식을 세울 수 있다.

\displaystyle \frac{di}{dt} = \frac{I(t)-i(t)}{A}

여기서 A 는 시각 반응에 관한 상수(time-constant for visual response)인데, 실험값에 의하면 야간에 0.2초라고 한다.

여하간 위 미분방정식은 간단하므로 쉽게 풀 수 있는데, 양변에 A 를 곱하고 정리하면,

\displaystyle \begin{aligned} Ai' + i & = I \\ Ae^{t/A}i' + e^{t/A}i & = e^{t/A}I \\ Ae^{t/A}i & = \int_{t_0}^{t} e^{t/A} I dt + \text{const.}\end{aligned}

시간이 t_0 일 때 순간 실효광도도 영이 될 것이므로, 대입하면 마지막에 붙는 적분상수는 영이 된다. 따라서 결국, 다음을 얻는다.

i(t) = \displaystyle \int_{t_0}^{t} \frac{I(u)}{A}e^{-\frac{t-u}{A}}du

만약 섬광의 시간이 짧으면 t-u 값이 매우 작게 되어 e^{-(t-u)/A} \approx 1 이라고 둘 수 있으므로, 근사적으로 i(t) = J/A 가 된다.

3. 블론델-레이-더글라스 방식(Method of Blondel-Rey-Douglas)

광원이 순간적으로 최대값이 되었다가, 다시 순간적으로 사라지는 불연속 함수의 형태일 경우, 광도 그래프가 사각형 톱니 형태가 되는데, 이것을 사각형 섬광이라고 한다. 이때 블론델-레이 법칙(Blondel-Rey law)은 다음과 같다.

\displaystyle \frac{I_e}{I_o} = \frac{\tau}{a + \tau}

여기서 a 는 블론델-레이 상수인데, 야간일 경우 0.2초를 권장값으로 하고 있다. 이 식을 유도해보자.

먼저 부동광이 승선자의 각막을 지나 시신경을 자극하기 위해서는 역치 이상의 빛이 필요하다. 이 부동광의 역치 조도를 E_t 라 하고, 이 역치만큼의 광원이 지속되어야 하는 시간을 a 라 하면, 필요한 총 광량은 E_t \cdot a 가 될 것이다. 따라서 어떤 사각형 섬광의 역치 조도를 E 라 하면, 섬광이 지속해야 하는 시간 \tau 는 사각형의 E_t 위쪽 면적이 총 광량이어야 하므로,

(E- E_t) \cdot \tau = E_t \cdot a

가 성립한다. 따라서

\displaystyle \frac{E_t}{E} = \frac{\tau}{a + \tau}

가 된다. 조도와 광도는 직접 비례하므로 원하는 식을 얻을 수 있다.

블론델-레이-더글라스 방식을 유도하기 위해 같은 방법으로 논의를 확장해보자. 광도 I(t) 가 연속적으로 변하는 섬광의 경우 t_1 을 조도가 역치 위로 올라가는 순간, t_2 를 조도가 역치 아래로 떨어지는 순간이라고 하면, I(t) 를 적분한 값에서 아래쪽 사각형을 뺀 값이 필요한 총 광량과 같아야 한다. 따라서,

\displaystyle I_e \cdot a = \int_{t_1}^{t_2}I(t)dt - I_e (t_2 - t_1)

그래서 이를 정리하면 다음을 얻는다.

\displaystyle I_e = \frac{1}{a + (t_2 - t_1)}\int_{t_1}^{t_2}I(t)dt

더글라스는 이 t_1t_2 를 실효광도 값이 최대가 되는 순간으로 정해아 한다고 제안했다고 한다.

4. 수정된 알라드 방식(Method of Modified Allard)

알라드 방식이 사각형 광원이나 몇몇 부분에서 잘 맞지 않는다고 한다. 항로표지 기능사 교재에는 없지만 수정된 버전이 위 링크에 소개되어 있다.

위에 유도된 알라드 방식의 식을 잘 관찰해 보면 convolution임을 알 수 있다. 즉,

\displaystyle i(t) = I(t) * \frac{e^{-t/A}}{A}

여기서 함수 \frac{e^{-t/A}}{A} 대신에 \frac{A}{(A+t)^2} 을 쓴다. 이 두 함수의 차이가 얼마나 되는지 maple로 그래프를 그리면 다음과 같다.

이 경우 사각형 섬광에서 블론델-레이 법칙과 계산값이 일치하게 된다. 즉, I(t) 의 값이 섬광 시간동안 상수값일 경우,

\displaystyle \begin{aligned} i(t) & = I(t) * \frac{A}{(A+t)^2} \\ & = \int_{t_0}^{t} I(u) \cdot \frac{A}{(A+t-u)^2} du \\ & = I_o \int_{t_0}^{t} \frac{A}{(A+t-u)^2}du \\ & = I_o \left[ \frac{A}{A+t-u} \right]_{t_0}^{t} \\ & = \frac{I_o (A+t-t_0-1)}{A+t-t_0}\end{aligned}

5. 돌보트 법칙(Talbot law)

이건 제일 간단하다. 광원이 극도로 빠르게 점멸할 때는(대략 초당 60회 근방) 광도의 적분값을 적분 구간의 길이로 나눈 값, 즉 평균광도가 그냥 실효광도가 된다는 법칙이다.

 


따라서 등명기 제작사에서 등명기를 공급할 때, 상이한 계산법을 쓸 수도 있으므로 국제 항로표지 협회(IALA)에서는 1980년에 다음과 같은 계산방식을 권고하고 있다고 한다.

  1. 섬광이 매분 300회 이하의 비율로 발광시 슈미트-크라우젠 방식을 이용한다.
  2. 섬광의 등질이 시간차가 있는 섬광 또는 볼 수 있는 방향이 차이가 있는 섬광이 포함되었을 때는 각 최저값을 취한다.
  3. 발광 시간에 있어서 순간 광도의 변화를 측정할 수 없을 때 실효광도는 다음 방식으로 계산할 수 있다.

    \displaystyle I_e = \frac{I_o \cdot \tau}{a + \tau}

    여기서 a 는 차폐/점멸 섬광의 경우 야간 0.2초, 주간 0.1초이고 회전 섬광의 경우 야간 0.3초, 주간 0.15초이다.

  4. 융합빈도 이상의 비율로 반복하는 섬광으로 볼 때 연속으로 보이는 등화의 실효광도는 돌보트 법칙을 적용하여 결정할 수 있다.

광달거리의 계산도 참조바람.

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