무리수의 무리수 거듭제곱

간단한 퀴즈 by 아이추판다

위 사례와 매우 유사한 것이 수학에도 있다. 다음 질문에 대답해보자.

무리수의 무리수 거듭제곱이 유리수가 될 수 있는가? 즉, a, b 가 모두 무리수인데, a^b 이 유리수일 수 있는가?

풀이는 이러하다.

\sqrt{2}^{\sqrt{2}} 가 만약 유리수라면 위 질문에 대한 답이 된다.

\sqrt{2}^{\sqrt{2}} 가 만약 무리수라면, \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2 이므로 역시 위 질문에 대한 답이 된다.

따라서 \sqrt{2}^{\sqrt{2}}가 유리수이든 유리수가 아니든 무리수의 무리수 거듭제곱이 유리수가 되는 경우는 항상 존재한다.

 


사실 다음의 예가 더 쉽다.
\log_3 4 가 무리수임은 귀류법으로 쉽게 증명할 수 있다. 그러면 다음이 성립한다.

\displaystyle \sqrt{3}^{\log_3 4} = 4^{\log_3 \sqrt{3}} = 2

Logic Under Construction in Three-Cornered Things

One thought on “무리수의 무리수 거듭제곱

  1. 핑백: Ens, New Start

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