콥-더글라스 생산함수 Cobb–Douglas production function

갑자기 생각이 나서 콥-더글라스 생산함수에 대해 조사해봤다. 여기에 포스팅한 것은 독학해서 이해한 내용을 적절히 편집하여 쓴 것인데, 본인은 경제학을 정식으로 배우지 않았으므로 부정확한 내용이 있을 수도 있다.

본 포스트는 다음 링크를 참조하였다.
http://docentes.fe.unl.pt/~jamador/Macro/cobb-douglas.pdf
위키피디아 Cobb–Douglas production function 항목
콥-더글라스 효용함수 by 봄길

 


콥-더글라스 생산함수는 생산량을 노동력과 투입자본에 관한 식으로 표현한 함수이다. 모든 모델이 그렇듯이 단순화를 위해 몇 가지를 가정한다. 다음과 같은 가정을 토대로 함수식을 유도해보자.

  1. 생산량 P 가 노동력 L 과 투입자본 K 에만 의존하는 함수라고 가정하자. 뭐 P(L,K) 라고 쓸 수 있을 것이다. 노동력 또는 투입자본 둘 중 하나가 영이면 생산량도 영이다. 즉, P(0,K)= P(L,0)=0 이다.
  2. 노동량에 대한 한계 생산량(marginal productivity)은 단위 노동량당 생산량에 비례한다.
  3. 자본량에 대한 한계 생산량은 단위 자본량당 생산량에 비례한다.

자 그러면 함수를 유도해 보자.

먼저, 단위 노동량당 생산량은 P/L 이다. 그러므로 두 번째 가정에 의해 다음 식이 성립한다.

\displaystyle \frac{\partial P}{\partial L} = \alpha \frac{P}{L}

여기서 \alpha 는 당연히 비례상수가 된다. 자본량이 일정하다고 가정하면 간단한 방정식이므로 풀기 쉽다. 양변을 P 로 나누어 적분하면

\displaystyle \int \frac{1}{P}dP = \alpha \int \frac{1}{L}dL

\displaystyle \ln P = \ln L^{\alpha} + C

따라서 P = C_{1} L^{\alpha} 를 얻는다. 첫 번째 가정에 의해 PL, K 만의 함수이므로 적분상수 C_{1}K의 함수가 된다.

마찬가지로 세 번째 가정에 의해

\displaystyle \frac{\partial P}{\partial K} = \alpha \frac{P}{K}

이 되고, 동일한 방법으로 P = C_{2} K^{\beta} 를 얻는다. 여기서 적분상수 C_{2}L의 함수가 된다.

결론적으로 이 두 결과를 종합하면

\displaystyle P(L,K) = AL^{\alpha}K^{\beta}

를 얻는다. 여기서 A 는 기술의 변화에 따라 달라지는 비례 상수로서 Total factor productivity라고 부른다고 한다.

최초로 콥과 더글라스라는 친구들이 미국의 1920년부터 30년까지의 통계자료를 이용해서 P = 101 L^{0.75}K^{0.25} 라는 함수를 얻었다고 하는데, 식은 꽤 단순해도 실전에서 그럭저럭 잘 맞는 모양인 듯 하다.

여기서 두 지수 \alpha, \beta 의 합이 1임을 가정하는 것이 보통인데, 만약 \alpha + \beta = 1 이면 규모에 대한 보수불변(constant returns to scale), 1보다 크면 보수체증, 작으면 체감이라고 한다. 요 값이 1이 되면 일전에 얘기한 Euler’s Homogeneous Function Theorem에서 n =1 인 케이스가 되는데, 여기서 오일러 정리를 써먹을 일이 뭐가 있는지 잠시 의문이 든다. 괜히 오일러 이름 내밀어서 뭔가 폼나는 이론인척 하려는 의도가 아닐까-_-

뭐 여하간, 여기서 좀 더 나아가서 만약 노동력과 자본량 투입의 총량이 제한적일 때, 생산량을 최대로 하는 법을 알고 싶다고 하자. 이건 뭐 약간 더 그럴듯 한 가정이다.

예를 들어 M 이라는 돈을 쥐고 있다면, 이 돈을 노동력과 투입자본으로 나눠서 생산을 해야 하는데, M = C_L L + C_K K 라고 가정하면, P(L,K) 의 값을 최대로 하는 문제가 된다. 여기서 C_L 은 단위노동력당 드는 비용이고, C_K 는 단위 자본당 드는 비용이다. 뭐 단위 자본당 드는 비용이라니 표현이 약간 이상하지만 뭐 일단 넘어가자-_-

이 대목에서 학부 미적분학을 수강한 사람이라면 금방 눈치를 까겠지만 ㅋㅋ Lagrange multiplier를 이용해 간단히 계산할 수 있다.

돈의 제한조건 M = C_L L + C_K K 이 만드는 gradient (C_L , C_K) 와 vector field (\frac{\partial P}{\partial L},\frac{\partial P}{\partial K}) 이 평행한 순간을 찾아야 한다.

따라서

\alpha A L^{\alpha-1}K^{\beta} = \lambda C_L … 식(1)

\beta A L^{\alpha}K^{\beta-1} = \lambda C_K … 식(2)

이 나온다. 여기서 \lambda 는 벡터의 길이를 맞추는 비례상수이다. 어 젠장 미지수가 \lambda, L, K 세 개인데 두 개의 식으로 어떻게 풀지?? 그런데 원래 주어진 돈의 제한조건 까지 합하면 식이 세 개가 된다. ㅋㅋㅋㅋ 설마 여기 속은 사람은 없겠지?

뭐 여하간 연립방정식인데, 물론 중딩도 할 수 있겠지만 ㅋㅋ 여기서 풀이 과정을 설명해보자면, 식(1)을 식(2)로 나누면 \lambda가 소거되면서 미지수 두 개가 남는다. 즉

\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} \frac{K}{L} = \frac{C_L}{C_K}

가 되는데, 이 식과 주어진 돈의 제한조건 M = C_L L + C_K K 을 연립해서 KL 을 구한다. 즉,

\displaystyle L = \frac{M}{C_L} \cdot \frac{\alpha}{\alpha + \beta}

\displaystyle K = \frac{M}{C_K} \cdot \frac{\beta}{\alpha + \beta}

가 된다. 따라서 이렇게 노동력과 투입자본을 분배하면 최대 생산량을 얻을 수 있다. 아 술 먹고 포스팅하니 계산 틀린데 있을 수도 있음-_-

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