황금비 만들기 대회

황금비가 뭔지 아마 수학 교양서를 읽은 분들은 익히 알고 있을 것이다. 가로 세로비가 가장 아름다운 비율이 되는 직사각형 모양이라나..? ㅋ

황금비 값은 대략 다음과 같다.

\displaystyle \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887498948482

Mazes for the Mind 책[1]에서 챕터 70에 황금비 만들기 대회에 관한 이야기가 나온다. 4를 네 번 써서 가장 황금비에 가까운 값을 만드는 것이다. 다만 똑같은 기호를 네 번까지만 허용한다. 똑같은 기호의 규정은 이런 식으로 제곱근을 많이 쓰면 얼마든지 가까이 접근할 수 있다.

\displaystyle \sqrt{\sqrt{\sqrt{44}}}\times \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{4^{4!}}}}}}}}}}}}} \approx 1.6179283308626686

제곱근을 얼마든지 쓰면 1에 다가갈 수 있으므로 똑같은 기호 제한이 없다면 다음과 같이 루트를 엄청 많이 써서 임의의 정확도로 황금비에 접근할 수 있다.

\displaystyle \frac{\sqrt{\sqrt{4}/.4} + \sqrt{\sqrt{ \cdots \sqrt{4} \cdots }}}{\sqrt{4}}

그리하여 이 책에는 규정을 지키는 이런 답안이 접수되었다고 한다.

\displaystyle \sqrt{\sqrt{\sqrt{44/(4/4)}}} \approx 1.6048394

\displaystyle \frac{4}{\sqrt{4}+\sqrt{4}/4} = 1.6

\displaystyle \sqrt{\sqrt{4+\sqrt{\sqrt{4\times 4\times 4}}}} \approx 1.61651660

최대 정확도를 가진 답안은 다음과 같았다고 한다.

\displaystyle \frac{4}{(.4 \times 4!)^{.4}} \approx 1.6186445827673460992

그러나 아뿔싸, 이게 우승이 아니었다. 우승은 뉴질랜드에 소재한 빅토리아 대학의 Brian Boutel라는 친구가 제출한 다음 답안이었다.

\displaystyle \phi = \frac{\sqrt{4} + \sqrt{4! -4}}{4}

이런… 켁. ㅋㅋ 이런 사태가 발생하지 않으려면 황금비 대신 원주율이나 e 로 해야할 듯.. ㅎㅎ

 


[1] Clifford A. Pickover, Mazes for the Mind: Computers and the Unexpected, Palgrave Macmillan(1994)

12 thoughts on “황금비 만들기 대회

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