Tupper’s self-referential formula

Jeff Tupper라는 친구가 만든 다음과 같은 문제가 있다.

다음 부등식의 영역을 그리시오.

\displaystyle \frac{1}{2} < \left\lfloor \mathrm{mod}\left(\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor 2^{-17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17)},2\right)\right\rfloor

xy 의 범위는 다음과 같다.

0 < x < 106

N < y < N+17

이때 N 은 다음 수와 같다.
48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619
34704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407
85691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219
16512843483329051311931999535024137587652392648746133949068701305622
95813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510
73004910672305893358605254409666435126534936364395712556569593681518
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57929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300

뭔가 열라 큰 수가 나오는게 일전에 소개한 부등식 \phi(30n+1)< \phi(30n) 이 갑자기 생각나는데, 심상치 않다. ㅋㅋ

여하간 이 문제의 정답은 놀랍게도 문제 그 자신이다. 즉,

오오오 이것을 Tupper’s self-referential formula라고 한다고 한다. 근데 이걸 직접 maple로 그려보려 하니 수가 너무 커서 plot 함수가 에러난다. 켁…. mathematica로 그리는 방법은 이 포스트에 나와 있는데, mathematica가 없어서 실제로 확인은 못 해봤다.

이 문제에 관한 자세한 내용은 다음 포스트에 상당히 잘 설명 되어 있으니 읽어보시길.

How does Tupper’s self-referential formula work? by S

포스트 마지막에 해상도가 더 높은 부등식도 소개하고 있다. 난 도대체 이 식을 어떻게 처음에 발견한 건지 궁금한데, 그거에 관해 설명한 것은 아무데도 없는 듯.. ㅋ

어떤 사람이 이런 부등식도 그린 모양이다. 이건 더 대단한데…

Self Referential Formula in Math

2 thoughts on “Tupper’s self-referential formula

  1. GrafEq라는 품질 좋은 그래프 플롯 프로그램 제작자가 만들어낸 식입니다. http://www.dgp.toronto.edu/~mooncake/papers/SIGGRAPH2001_Tupper.pdf
    저는 몇 년 동안 GrafEq랑 저 식을 따로따로 알아서 같은 사람이 만든 건줄 최근에야 알았다는..

    저도 저걸 어떻게 그렸을지 궁금해져서 조금 뜯어보니, 간단하게 말하면 N이 저 ‘그림’를 담고 있는 것이고 원래 식은 N에 ‘담겨있는’ 그림을 추출해서 그리는 식입니다.
    식에 17이 들어있는데 그림의 너비도 17이죠. N을 2진수로 나열한 후, 2의 음수제곱은 거기에서 몇 번째 비트를 선택할지를 결정하고, mod 2로 그 비트 말고 전부를 날려버립니다. 그래서 그 비트가 1/2보다 크면(1이면) 부등식이 만족되어 픽셀이 색칠되고요.

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