4 ≤ G(3)

일전에 포스트한 g(3)=9 의 part 3 증명과정[1]을 다시 읽어보니 마지막 부분이 다 틀렸다-_- 책이 틀린 줄 알고 내 맘대로 증명했는데, 다시 보니 책이 맞고 내가 틀렸던 것이다. 결국 뒷부분을 다시 수정했다. ㅎㅎ

 


애석하게도 g(3) 과는 달리 G(3)의 정확한 값은 증명되지 않았다. 다만 4 \le G(3) \le 7 이라는 사실만 알려져 있다. 여기 있는 내용도 모두 [2]에 있으므로 참조하기 바란다.

1. theorem >
4 \le G(3) 이다.

1-1. proof of theorem 1 >
아 근데 사실 이건 민망할 정도로 증명이 간단하다. 별도의 포스트로 할 필요는 없는데, 포스팅 하나 날로 먹어야겠다. ㅋㅋ

모든 자연수는 modulo 9에서 0, 1, -1 중의 한 값을 가진다. 즉, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 을 세제곱하면, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1 이 된다. 따라서 이들 중 세 개의 수의 합으로는 4 를 만들 수 없다. 즉, N \equiv \pm 4 \pmod{9}N 은 세 개의 세제곱수의 합으로는 표현이 불가능하다. 따라서 세제곱수의 합으로는 표현이 불가능한 자연수가 무한히 많고, 그러므로 4 \le G(3) 이 성립한다.

 


[1] 내 백과사전 g(3)=9 part 3 : Wieferich-Kempner theorem 2011년 7월 3일
[2] Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag.

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