산술평균, 기하평균, 조화평균

평균을 구하는 다양한 방법들 중에서 세 가지 방법이 가장 유명한데, 바로 산술평균, 기하평균, 조화평균이다. 이 세 값은 항상 크기 관계가 있는데, 고교 교과과정에도 나와있는 유명한 부등식이다. 즉, 두 양수 a, b에 대해 다음 부등식이 항상 성립한다.

\displaystyle \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}

혹은, 좀 더 일반적으로 다음과 같이 표현 가능하다.

\displaystyle \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

뭐 이걸 증명하는 방법은 다양하게 접할 수 있으니 넘어갑시다. ㅎㅎ

여하간 이번 포스트에서 하고 싶은 이야기는 이 모든 평균을 아우르는 하나의 일반적인 평균법이 있다는건데, 그게 power mean이라는 거다. 다음과 같이 정의한다.

\displaystyle M_p(x_1,\cdots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}

물론 Lp-space에 대해 이미 배우신 분들에게는 이미 익숙한 계산일 것이다.

p=1 이면 산술평균이 되고, p=-1이면 조화평균이 된다. 오오.. 근데 기하평균은 어떻게 만들지?? 기하평균은 p 를 양의 방향에서 영으로 무한히 극한을 보냄으로써 얻어진다. 계산법은 로그를 취한 후 로피탈의 정리를 써서 원하는 결과를 얻는다. 여기를 참조하였긴 하지만, 어려운 계산은 아니다.

\displaystyle \begin{aligned} \lim_{p\to +0} \log M_p & = \lim_{p\to +0} \frac{\log\left\{\frac{1}{n} \left( x_1^p+\cdots +x_n^p \right)\right\}}{p}  \\ & = \lim_{p\to +0} \frac{\frac{1}{n}\left(x_1^p\log x_1+\cdots+x_n^p\log x_n\right)}{\frac{1}{n} \left( x_1^p+\cdots +x_n^p \right)}  \\ & = \lim_{p\to +0} \frac{x_1^p\log x_1+\cdots+x_n^p\log x_n}{x_1^p+\cdots+x_n^p}  \\ & = \frac{\log x_1+\cdots+\log x_n}{n}  \\ & = \log \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \end{aligned}

뭐 여하간 그럼 이제 남은 것은 이 M_p(x_1,\dots,x_n) 라는 함수가 p 에 대해 증가한다는 것을 보이면 산술-기하-조화 평균 부등식을 한큐에 증명할 수 있게 된다. ㅋㅋ 증명을 여기에 써 볼까 했는데, planetmath에 증명이 잘 나와 있어서 걍 생략. ㅎㅎ

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