1/x 를 적분하면?

The n-Category Café에 재미있는 포스트[1]가 올라와서 소개한다.

\frac{1}{x} 의 부정적분이 무엇이라고 생각하시는지? 아마 많은 사람들이 당연히 다음과 같은 식을 떠올릴 것이다.

\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \log | x | + C

여기서 C 는 바로 그 적분상수이다. 그런데 이 답은 엄밀히 말하면 틀렸다. 왜 그럴까? 예를 들어 다음과 같은 부정적분을 살펴보자.

\displaystyle \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C

여기서 \frac{1}{2}x^2 + C 는 미분을 하여 함수 x 가 될 수 있는 가능한 모든 함수의 형태를 나타내는 것이다. 즉, 미분해서 함수 x가 되는 모든 함수을 표현하기 위해 적분상수를 이용하는 것이다. 따라서 부정적분을 계산한 결과는 미분해서 피적분함수가 되는 모든 함수의 형태를 써 주어야 한다. 즉, 부정적분 \int \frac{1}{x}dx 의 결과물도 미분해서 함수 \frac{1}{x} 가 되는 모든 함수를 표현해야 한다. 그러므로 해답은 다음과 같게 된다.

\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \begin{cases}\log | x | + C_1 & ( x>0 )\\ \log | x | + C_2 & ( x<0 )\end{cases}

사실 적분하려는 함수가 n 개의 connected component 를 가지고 있으면 그만큼 적분상수를 가져야 한다. 예를 들어 \frac{1}{\cos x} 를 적분한다면 무한히 많은 개수의 적분상수를 가지게 된다.

사실 이게 위에 링크한 The n-Category Café 블로그 포스트의 주제는 아니다. 위 블로그 주인은 교육학적인 측면에서 고교생들에게 이것을 어떻게 설명할 것인가하고 질문하고 있다. 뭐 이런건 학생들에게 대충 설명하면 되지 않나.. 이해 못하면 그냥 외우라 하면 되겠지 뭐 ㅋㅋㅋ

재미로 spiked math 웹툰의 적분상수 이야기[2]도 보시라.

 


[1] Reader Survey: log|x| + C in The n-Category Café
[2] 내 백과사전 적분상수 붙이기에 지쳤는가? 2012년 5월 12일

5 thoughts on “1/x 를 적분하면?

  1. 그런 것이 있었군요. 마지막문장이 좀 슬프네요. 대충설명, 이해 못하면 외우라…
    근데.. log 가 아닌 ln 이 아닌지요??

  2. 첫번째 식에서 X가 음이든 양이든 절댓값기호로 성립하는 것 아닌가요..? 이해가 안되네요. 어느부분이 엄밀히 말해 틀렸다는 건지..

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