세 개의 세제곱수

종종 들르는 블로그 Walking Randomly[1]에서 세 개의 세제곱수에 관한 흥미로운 논의가 올라와 있어 이걸 보고 포스팅해본다.

일전에 4 ≤ G(3)인 이유[2]를 설명한 적이 있듯이 9로 나누어 나머지가 4 또는 5가 되는 수는 세 개의 세제곱수의 합으로 표현하는 것이 불가능하다. 증명은 매우 간단하니 한 번 읽어보시길 바란다.

그러면 자연스럽게 떠오르는 의문은, 9로 나누어 나머지가 4 또는 5가 아닌 수들은 모두 세 개의 음이 아닌 세제곱수의 합으로 표현가능한가 하는 것인데, 이것은 Waring’s problem라 이름 붙은 널리 알려진 문제의 일부로서 본 블로그에서도 소개한 일[3]이 있다.

문제의 조건을 약간 완화해서 영과 음수를 허용한다면 웨어링의 문제 보다 좀 쉬워지지 않을까 싶지만, 미해결이다. ㅋㅋㅋ 문제를 명확하게 하기 위해 다시 서술하자면, 주어진 자연수 n에 대해 x^3 + y^3 + z^3 =n 를 만족하는 정수 x, y ,z를 찾는 문제이다. 일전에 소개한 두 개의 제곱수와 한 개의 세제곱수 문제[4]와 비슷한 감이 있으나 난이도는 천지차이다. ㅋ

물론 역사가 오래된 문제이니만큼 다양한 시도가 있어왔는데, 이 문제를 공격했던 과거의 다양한 시도가 [5]에 소개되어 있다. 재미삼아 읽어보시는게 좋을 것 같다. 이 논문에 알고리즘도 소개되어 있다.

특히 놀라운 점은 잘 나가다가 몇몇 수에서 기이한 해가 등장하는데, 표를 직접 보는 것이 이해가 빠를 듯 하다. 다음 표는 어느 사이트[6]의 일부를 가져온 것이다. 그런데 이 사이트에는 약간 이상한 부분이 있어 본인이 약간 수정했다. 더 많은 해는 다른 사이트[7]를 참조하시라.

n x y z
1 0 0 1
2 0 1 1
3 1 1 1
6 -1 -1 2
7 0 -1 2
8 0 0 2
9 0 1 2
10 1 1 2
11 -2 -2 3
12 7 10 -11
15 -1 2 2
16 0 2 2
17 1 2 2
18 -1 -2 3
19 0 -2 3
20 1 -2 3
24 2 2 2
25 -1 -1 3
26 0 -1 3
27 0 0 3
28 0 1 3
29 1 1 3
30 -283059965 -2218888517 2220422932
33 ? ? ?
34 -1 2 3
35 0 2 3
36 1 2 3
37 0 -3 4
38 1 -3 4
39 134476 117367 -159380
42 ? ? ?
43 2 2 3
44 -5 -7 8
45 2 -3 4
46 -2 3 3
47 6 7 -8
48 -23 -26 31

잘 나가다가 30은 좌절급이다. ㅋ 애석하게도 33과 42의 경우는 해가 아직도(!) 알려지지 않고 있다.

이런 류의 문제를 조사하다보면 자주 등장하는 친구가 엘키스인데, 일전에 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734와 관련하여 소개한 적[8]이 있다. 30의 경우는 비교적 최근까지 해가 알려지지 않다가 2000년에 엘키스와 동료들이 해를 발견하였다고 한다.[9]

 


[1] Sum of Three Cubes Puzzle in Walking Randomly
[2] 내 백과사전 4 ≤ G(3) 2011년 10월 23일
[3] 내 백과사전 웨어링의 문제 2011년 2월 11일
[4] 내 백과사전 두 개의 제곱수와 한 개의 세제곱수 2010년 9월 18일
[5] Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant and Kim Yarbrough Jensen, “New integer representations as the sum of three cubes”, Math. Comp. 76 (2007), 1683-1690
[6] http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm
[7] http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel/Arbeiten/Liste/threecubes_20070419.txt
[8] http://zariski.egloos.com/815343
[9] Elkies, N. D. “Rational points near curves and small nonzero |x3 − y2| via lattice reduction”, arXiv:math/0005139 [math.NT]

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