abc 추측이 풀리나?

일본발 소문에 따르면 abc 추측이 풀린게 아닌가 하는 루머가 퍼지는 모양이다. 뭐 틀릴 가능성도 높은 듯 하지만 여하간 이거 풀리면 대박 중의 대박 아닌가! ㅎㅎ

abc 추측은 워낙 강한 추측이라서 개인적으로는 본인의 생전에 풀리는 것에 대해 회의적인데, 여하간 추측을 써보자면 다음과 같다.

먼저 Radical of an integer라는걸 정의하는데, 이는 주어진 정수 n에 대해, n의 서로 다른 소인수들의 곱을 의미한다. 예를 들어 \mathrm{rad}(504)= \mathrm{rad}(2^3 \cdot 3^2 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 가 된다.

그러면 abc 추측이란 임의의 \epsilon >0 에 대해 K(\epsilon)이 존재하여, 서로 소인 세 자연수 a,b,ca+b=c 이면 c \leq K(\epsilon)\mathrm{rad}(abc)^{1+\epsilon} 을 만족한다는 추측이다.

a + b =c 라는 부분이 페르마의 마지막 정리나 카탈란 추측의 식과 비슷하게 생겼다. 그래서 a = x^n, b=y^n, c = z^n 을 대입하여 asymptotic bound를 찍어 누르면 큰 지수에 대한 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다. 마찬가지로 큰 지수에 대한 카탈란 추측도 증명가능하다. 또한 Wieferich 소수가 무한한지 아직 증명되지 않았는데, abc 추측이 참이라면 이것 또한 Wieferich 소수가 무한히 많다는 것도 증명가능하다. [1]에 증명이 있으니 참조바란다.

이런 큰 정리들이 종합선물세트로 딸려나오는데 이걸 풀다니 말이돼? ㅋ 뭐 여하간 진짜 증명이 되는지 지켜보는 것도 재미중의 하나 일 것 같다. ㅎㅎ

 


[1] Melvyn B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, Springer, 2000, p185-188

 


2012.9.15
드디어 모치즈키 신이치(望月新一)라는 수학자가 abc 추측의 증명을 최근에 공개한 모양이다. Gödel’s Lost Letter and P=NP에서도 소개하고 있다.

The ABC Conjecture And Cryptography in Gödel’s Lost Letter and P=NP

오오오오오오오오오 분위기를 보니 이번 증명은 꽤 믿을만 한듯? 근데 아직 흥분하기에는 이른건가. ㅎㅎㅎ 여하간 일본인 수학자가 이번에 한 번 크게 대박치나. ㅎㅎㅎ 보드카 한잔 먹고 흥분을 좀 가라앉혀야 겠다. ㅋ

 


2012.9.18
폴리 매스에 관련 글이 올라와 있다. 참조바란다.

 


2014.7.5
The Paradox of the Proof By Caroline Chen
Project Wordsworth에 abc 추측과 모치즈키에 관한 비교적 최근의 사건까지 소개된 글이 올라와 있다. 참고바란다.

 


2015.10.8
네이쳐 뉴스 The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof 07 October 2015

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