신기방기한 적분 문제 : Borwein Integrals

방금 재미있는 문제를 발견해서 급히 포스팅한다.

복소해석학 배우신 분들은 다음 적분을 계산할 수 있을 것이다.

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}

다음 적분들의 값도 모두 \pi/2 로 동일하다.

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x/3}{x/3}dx = \frac{\pi}{2}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x/3}{x/3}\cdot \frac{\sin x/5}{x/5}dx = \frac{\pi}{2}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x/3}{x/3}\cdot \frac{\sin x/5}{x/5}\cdot \frac{\sin x/7}{x/7}dx = \frac{\pi}{2}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x/3}{x/3}\cdot \frac{\sin x/5}{x/5}\cdot \frac{\sin x/7}{x/7}\cdot \frac{\sin x/9}{x/9}dx = \frac{\pi}{2}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x/3}{x/3}\cdot \frac{\sin x/5}{x/5}\cdot \frac{\sin x/7}{x/7}\cdot \frac{\sin x/9}{x/9}\cdot \frac{\sin x/11}{x/11}dx = \frac{\pi}{2}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x/3}{x/3}\cdot \frac{\sin x/5}{x/5}\cdot \frac{\sin x/7}{x/7}\cdot \frac{\sin x/9}{x/9}\cdot \frac{\sin x/11}{x/11}\cdot \frac{\sin x/13}{x/13}dx = \frac{\pi}{2}

그러면 다음 적분값은 얼마일까?

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x/3}{x/3}\cdot \frac{\sin x/5}{x/5}\cdot \frac{\sin x/7}{x/7}\cdot \frac{\sin x/9}{x/9}\cdot \frac{\sin x/11}{x/11}\cdot \frac{\sin x/13}{x/13}\cdot \frac{\sin x/15}{x/15}dx

두두둥~
애석하게도 이 적분의 적분값은 \frac{467807924713440738696537864469\pi}{935615849440640907310521750000} 이 된다고 한다. 켁.

사실 증명은 안 봤는데 [1]에 있다고 나와있네. 지금 내일까지 해야할 일이 있어서 그럼 이만… ㅋ

 


[1] Borwein, D. and Borwein, J. M. “Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals.” Ramanujan J. 5, 73-90, 2001.
[2] Borwein Integrals in MathWorld
[3] Loose Ends by Steve Landsburg

4 thoughts on “신기방기한 적분 문제 : Borwein Integrals

  1. 분수값은 괴랄해 보여도 소수값은 pi * 0.499 999 999 992 646… 네요. 뭔가 재미있는 이유가 있을 것 같습니다 ㅋ

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