북의 모양을 듣는 문제

이매뉴얼 더만의 책[1]을 읽다보니 북의 모양을 듣는 문제에 관한 이야기가 살짝 언급된다.

이매뉴얼 더만 저/권루시안 역, “퀀트”, 승산, 2007

p65-66

내가 들어본 최고의 강의는 1970년대 초에 컬럼비아에서 있었던 마크 카흐츠의 세미나였다. 폴란드 출신인 카흐츠는 확률 이론 전문가로, 양자역학과 옵션 이론 모두에서 발생되는 미분 방정식을 푸는 파인만-카흐츠 해법으로 물리학자와 금융 이론가 사이에 잘 알려진 사람이다. 그의 세미나는 “북의 생김새를 들을 수 있는가?”라는 재미있는 주제로 진행됐다. 그는 그 세미나에서 북에서 발생하는 모든 주파수의 모든 음파를 다 들을 수 있는 완벽한 청력을 지닌 장님이 있을 경우 그 사람은 북의 생김새 자체를 수학적으로 알아낼 수 있음을 보여주었다. 이 문제는 역산란이라는 좀 더 일반적 분야의 한 부분으로, 후일 골드만삭스에서 이라즈 카니(Iraj Kani)와 내가 비슷한 방법을 사용한 적이 있다. 카니와 나는 가상의 옵션 시장과 관찰자가 한 가지 주식의 모든 옵션 가격을 기록해 두었다고 가정할 때, 앞으로 있을 수 있는 모든 주식 변동성을 나타내는 곡면의 모양을 알아낼 수 있음을 보였다.

이 문제에 관한 글을 15년전에 Barry Cipra의 책[2]에서 본 적이 있었다. 당시 본인의 기억으로는 정확히 동일한 소리를 내는 서로 다른 모양의 두 북이 존재한다고 알고 있었는데, 이 책과 내용이 좀 달라서 위키피디아를 찾아봤더니만, 볼록하고 무한번 미분가능한 경계(convex planar regions with analytic boundary)를 가진다는 조건이 있으면 소리가 같은 두 북은 모양도 같다고 한다. 컥.

여하간 더만씨가 내용을 잘못 알고 있는 건지도 모르겠지만, 여하간 좀 더 정확히 이야기하자면 위 책의 내용은 convex planar regions with analytic boundary라는 조건이 필요하다.

 


[1] 내 백과사전 [서평] 퀀트, 물리와 금융에 관한 회고 2013년 3월 23일
[2] Barry Cipra, What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 1, American Mathematical Society, ISBN 978-0821889992

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