켈리 공식 Kelly formula

규칙이 단순한 도박이라 할지라도 반복적으로 계속 베팅하는 경우, 그 베팅에는 다양한 전략이 있을 수 있다. 일전에 런던 고래 사건[1]을 소개한 적이 있지만, 런던 고래는 짐작컨대 마팅게일 전략에 가까운 전략을 쓴 것 같다.

마팅게일 전략이란 돈을 잃을 경우 잃은 돈의 두 배만큼 다시 베팅하는 전략인데, 이길 확률이 있고 밑천이 무한하다면 언젠가는 이기는 순간이 올 것이기 때문에 이론적으로는 잃은 돈을 모두 회수가능하다. 주식투자에서 이른바 ‘물타기’ 전략의 극단적 경우라 할 수 있다.

마팅게일 전략은 이론적으로는 항상 돈을 따는 것이 가능하지만, 애석하게도 실제로는 밑천이 유한하므로 이런 미친 짓을 할 수 없다. 아무리 기대값을 계산하였을 때 도박자에게 유리한 도박이라고 해도, 판돈이 지수적으로 증가하므로 몇 번 운이 연속으로 없을 경우 밑천이 영이 되는 순간이 필연적으로 오게 된다.

그러므로 기대값을 계산했을 때 도박자에게 유리한 도박을 하는 경우, 돈을 불릴 수 있는 전략적 베팅이 필요한데, 자신의 밑천에 대한 일정 비율로 베팅을 하면 밑천이 영이 될 가능성이 없으므로 이론적으로 무한히 베팅이 가능하다. 그 비율이 얼마일 때 가장 현명한지에 관한 해법 중에 가장 유명한 것이 켈리 공식이다. 이 켈리 공식을 위키피디아의 항목과 잡다한 검색을 참조하여 잠시 설명해보겠다. 더 자세한 내용은 [2]를 참조하시라.

 


문제를 해결하기 위해 늘 그렇듯이 몇 가지 가정을 통해 모델링을 해 보자.

반복적으로 시행가능한 어떤 도박에서 돈을 벌 확률이 p이고, 돈을 잃을 확률이 q 이라고 하자. 편의상 본전치기는 없다고 가정한다. (즉, p+q=1 이다.) 순수익, 즉 이겼을 때 건 돈을 제외하고 더 받는 이익의 비율을 b 라고 하자. 예를 들어 100원을 건 도박에 이겨서 원래 건 돈 100원을 회수하고도 210원을 더 얻으면 순수익의 비율은 2.1이 된다. 잃을 때는 건 돈의 전부를 잃는다.

도박자에게 유리한 게임일 경우 반복적으로 도박을 하면 밑천이 증가하는 경향을 보이는데, 밑천의 일정 비율을 건다면 건 돈에 대해 비율로 배당받게 되므로 장기간에 걸쳐 근사적으로 지수함수의 경향을 따르게 된다. 예를 들어 만약 p=1 이고 b=1이라면, 밑천의 100%를 베팅시 n회 도박 후에는 당연히 2^n 배의 돈을 쥐게 된다.

최초 자본금을 V_0, N회 도박 후에 형성된 자본금을 V_N 이라 하면, 결국 우리의 계산 목표는 다음 값을 극대화 하여야 하는 문제가 된다.

\displaystyle G = \lim_{N \to\infty}\frac{1}{N}\log \frac{V_N}{V_0} …… (1)

그러면 전체 자본금에 대해 x의 비율로 걸어서 이기면 (1+bx)V_0 가 되고, 지면 (1-x)V_0 가 된다. 이것을 반복하여 W회 이기고 L 회 지면,

\displaystyle V_N = (1+bx)^W (1-x)^L V_0

가 성립한다. 이 결과를 (1)에 대입하면

\displaystyle \begin{aligned}G &= \lim_{N \to\infty}\left[\frac{W}{N}\log (1+bx) + \frac{L}{N}\log (1-x)\right] \\ &= p\log(1+bx)+q\log(1-x)\end{aligned}

가 된다. 따라서 이 값을 극대화하는 x를 찾기 위해 미분하여 영이 되는 지점을 찾으면

\displaystyle \frac{dG}{dx} = \frac{bp}{1+bx} - \frac{q}{1-x}=0

따라서 이 방정식을 풀면 켈리공식을 얻는다.

\displaystyle x=\frac{bp-q}{b}

즉, 매번 이만큼의 비율로 판돈을 걸어야 장기적인 관점에서 자본이 극대화 된다.

 


2016.11.2
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[1] 내 백과사전 런던 고래 사건 2013년 7월 14일
[2] Kelly, J. L., Jr. (1956), “A New Interpretation of Information Rate”, Bell System Technical Journal 35: 917–926

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