정사각형 구멍을 뚫는 드릴과 Barbier의 정리

Rouleaux_triangle_Animation정폭곡선(Curve of constant width)이란 곡선 사이를 끼는 평행접선의 거리가 일정한 곡선을 말한다. 원이 가장 단순한 예가 되겠지만 원 이외에는 우측 그림과 같은 Reuleaux triangle이 가장 유명하다. 폭이 일정한 채로 회전하는 저 애니메이션이 이해가 되시는지? ㅋ

이 Reuleaux triangle을 중간에 끼고 Reuleaux triangle의 일부를 잘라 칼날을 만들면 정사각형 구멍을 뚫는 드릴을 만들 수 있는데, 유튜브에 drill square hole로 검색하면 관련 동영상이 많이 있다. 재미있으니 한번 보시라.

아래 두 번째 동영상은 간략하게나마 원리를 설명하고 있는데, 그림만 봐도 이해할 수 있을 것이다. 영상을 직접보면 신기방기하다. ㅎㅎ





마지막 영상은 정폭 곡선 바퀴를 가진 자전거 이야기가 나온다. 대단하다. 근데 쓸모는 없을 듯-_-

이 정폭곡선의 둘레의 길이는 일정하다는 것이 알려져 있는데, Barbier의 정리로 알려져 있다. 정폭곡선은 convex라는 정리가 있다는 이야기를 들은 적이 있는데, 찾아보니 나오지가 않네… -_- 여하간 곡선이 convex이고 미분가능하며 일부분이 선분을 포함하지 않는다고 가정하면, Barbier의 정리는 다음과 같이 일부 본인의 계산을 포함하여 증명할 수 있다. ㅋ

임의의 미분가능하고 선분을 포함하지 않는 convex simple closed curve가 있으면, 내부에 원점을 두고 반시계 방향으로 곡선위의 점을 parameterize하여 P(t)로 표현하되, 각 점의 좌표 P(t) =(f(t), g(t))의 normal vector의 방향이 unit circle의 normal vector와 같도록 결정한다. 즉, Q(t) = (\cos t, \sin t) 라고 두면,

\displaystyle P'(t)\cdot Q(t) = f'(t)\cos t+g'(t)\sin t =0 …… (1)

가 성립한다.

어느 두 평행한 접선에 접하는 두 접점은 P(t)P(t+\pi)로 각각 표현가능하다. 그리하여 P(t) \cdot Q(t)는 원점에서 한쪽 접선까지의 거리이고 P(t+\pi) \cdot Q(t+\pi)는 원점에서 반대쪽 접선까지의 거리가 된다. 이 둘을 합하여 곡선의 ‘폭’이 된다. 즉, 점 P(t)에서의 접선과 원점 사이의 거리를 h(t)라 두면,

h(t) = P(t)\cdot Q(t) = f(t)\cos t+ g(t)\sin t …… (2)

로 표현된다. h(t) + h(t+\pi)는 두 평행한 접선 사이의 거리이고, 정폭곡선의 경우 이 값이 상수가 된다.

위 식(2)의 양변을 t로 미분해보면, h'= f'\cos t - f\sin t +g'\sin t + g\cos t인데, 위 식(1)에 의해

\displaystyle h'(t)=-f(t)\sin t+g(t)\cos t …… (3)

이다. 여기서 식(2)와 연립하면 P(t)의 좌표를 h(t)로 표현할 수 있다. 즉,

\displaystyle f = h\cos t - h'\sin t, g = h\sin t + h'\cos t

이를 다시 미분하여

\displaystyle f'=-(h+h'')\sin t, g' = (h+h'')\cos t

그러므로 곡선의 둘레의 길이는

\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}\sqrt{f'^2+g'^2}dt & = \int_0^{2\pi}\sqrt{\{-(h+h'')\sin t\}^2+\{(h+h'')\cos t\}^2}dt \\ & = \int_0^{2\pi}|h''+h|dt \end{aligned}

여기서 h+h''의 부호가 문제가 된다. 식(3)을 한 번 더 미분해보면 h+h'' = -f'\sin t + g'\cos t = (g', -f')\cdot (\cos t,\sin t) 가 된다. 최초에 매개변수의 방향이 반시계 방향이므로 접선벡터 (f', g')은 반시계 방향이고 이를 시계방향으로 회전한 (g',-f')은 항상 바깥쪽 normal 방향을 향하게 된다. 따라서 h+h''는 항상 양수이다. 결국,

\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}h(t) + h''(t)dt & = \int_0^{2\pi}h(t) dt \\ & = \int_0^{\pi}h(t) + h(t+\pi)dt \end{aligned}

가 성립한다. 그런데 정폭곡선의 경우 h(t)+h(t+\pi)가 상수이므로 마지막 적분이 상수가 된다. 따라서 정폭곡선의 둘레는 일정하다.

2 thoughts on “정사각형 구멍을 뚫는 드릴과 Barbier의 정리

  1. 오오 사각형 안에서 뱅글뱅글 돌고 있는 모습
    계속 봐도 신기하네요
    5각형, 6각형 등의 정다각형 구멍을 뚫는 정폭곡선을 구성해 보는것도 재미있는 문제일 것 같네요

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