Vieta jumping

페북의 수학 그룹에서 흥미로운 사실을 알았다. 일단 다음 문제를 보시라.

a, b가 모두 정수일 때, \displaystyle \frac{a^2 + b^2}{ab+1}가 자연수라면 이 수는 제곱수임을 보여라.

꽤 어려우니 흥미있는 사람은 함 풀어보시라. 이리저리 시도해도 잘 안 되는데, Vieta jumping으로 푸는 문제라고 누가 말하는게 아닌가. 과연 위키피디아의 Vieta jumping 항목에 위 문제의 풀이가 나온다.

위키피디아에 따르면 1988년 IMO 6번 문제로 출제되었다는데, 당시 여섯 명의 오스트레일리아 출제위원 아무도 이 문제를 풀 수 없었다고 한다. 또한 오스트레일리아의 정수론 수학자 4명에게 보냈는데도 여섯 시간 동안 아무도 풀 수 없었다고 한다. 그래서 너무 어렵다는 이유로 반려될 뻔한 모양인데, 긴 토론 끝에 결국 마지막 문제로 출제하기로 결정했다고 한다. 이 시험에서 11명의 학생이 완벽한 답안을 제출했다고 하는데, 그 중 한 명은 미래 필즈메달을 수상하게 될 Ngô Bảo Châu였다고 한다. 헐… 그러니까 이 친구는 이 기법을 모르고 푼 거 아닌가! 될 나무는 역시 떡잎부터 다른건가… -_- 참고로 이 아저씨 이름 읽는 법[1]에 대해 일전에 포스팅한 적이 있다. ㅎㅎ

여하간 이 기법에 이런 이름이 들어간 이유는 중고교생들이 흔히 ‘근과 계수와의 관계’라는 이름으로 알고 있는 Vieta’s formulas를 이용해 한 근에서 다른 근으로 폴짝 뛰어 넘어가는 느낌을 줘서 그런 것 같다. (공상력을 발휘해 보자! ㅋ)

이 문제가 히트를 친 탓인지 이후에 이런 기법을 변형해서 많이 문제가 나온 모양인데, 너무 많이 나온 탓인지 몰라도 싫어하는 사람이 꽤 많은 듯.[2]

크게 복잡한 기법은 아닌데, 비교적 근래 개발된 테크닉이라 하니 좀 신기하다. ㅎㅎ

근데 실제로 저런 복잡한 조건을 만족하는 자연수가 있긴 있을까? sage로 1000×1000 안에서 돌려봤는데, 많지는 않지만 몇 개 나온다.

 


[1] 내 백과사전 Ngô Bảo Châu를 읽는 법 2011년 5월 9일
[2] Why does everyone hate Vieta Jumping? in Art of Problem Solving

4 thoughts on “Vieta jumping

  1. 애독자입니다
    재밌는 글을 많이 올리셔서 늘 즐겁게 보고 있습니다
    방명록에 쓸 글을 여기에 적네요 ㅎㅎ

  2. 제가 기억하기로는 비에타 점핑 쓰다보면 해를 전부 구할 수도 있었는데 아마도 a=b^3과 b=a^3이었던 것 같네요.

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