G(3) ≤ 7 part 1 : Linnik’s theorem

예전에 소개한 웨어링의 문제 시리즈 포스팅으로 이번에는 G(3)의 upper bound에 대해 다룰까 한다. 뭔가 열라게 오랜만의 포스팅이긴 하지만, 다 본인이 게을러서 그런 것이니 이해하시라. ㅋ 이전의 시리즈를 읽고 싶으면 시리즈 포스팅 목록을 참조할 것.

참고로 Linnik’s theorem이라고 말하면 보통 다른 정리를 의미하는 것 같다. 일전에 소개한 디리클레 정리에서 등차수열에 무한히 많은 소수가 포함되어 있음이 알려져 있는데, 최초의 소수의 위치를 짐작하는 bound를 알려주는 정리를 가리키는 듯. 근데 Nathanson 책[1]에서 G(3) ≤ 7을 Linnik’s theorem이라 부르니 본 포스팅에서도 걍 이렇게 부르자. ㅋ

이 포스팅의 대부분은 [1]의 내용을 거의 그대로 베껴 작성한 것이다. 부족한 부분은 원서를 참조하시기를 바란다.

 


0. preliminary >
8n+3꼴의 모든 자연수는 세 개의 제곱수의 합으로 표현가능하다

증명 중간에 이 사실을 이용하는데, 이 증명이 꽤 길다. 걍 넘어가자-_- 참고로 세 개의 제곱수로 표현가능한 수들은 모두 분류가 되어 있고 유명한 결과이다. 이 정리의 짧은 증명을 할수 있지 않을까 궁리좀 해봤는데, 능력부족이다. ㅠㅠ 웬만하면 제로베이스에서 시작한다는 대원칙을 깨니 본인도 안타깝다. 흑.

다음과 같은 기묘한 정리를 살펴보자.

1. theorem > n을 자연수라 하자. 만약 다음 여섯 개의 조건을 만족하는 서로 다른 소수 p, q, r이 존재한다면 n은 여섯 개의 세제곱수의 합으로 표현가능하다.

\displaystyle p \equiv q \equiv r \equiv -1 \pmod{6} … (식 1)

\displaystyle r < q < 1.02r … (식 2)

\displaystyle \frac{3}{4}p^3 q^{18} < n < p^3 q^{18} … (식 3)

\displaystyle 4n \equiv p^3 r^{18} \pmod{q^6} … (식 4)

\displaystyle 2n \equiv p^3 r^{18} \pmod{r^6} … (식 5)

\displaystyle n \equiv 3p \pmod{6p} … (식 6)

도대체 왜 이런 조건들이 선택되었는지 본인에게 묻지 마시라-_- 뒤쪽 계산에서 이들 조건을 갖춘 소수들이 존재함을 보이는데, 아무래도 긴 증명과정 도중에 어중간하게 허리 부분을 절단한 느낌이 강하다. 전체 증명과정을 좀 더 단순화시켜보고 싶은데, 능력이 안 되는지라… -_-

1-1. proof of theorem 1 >
이 세 개의 소수를 이용해서 n을 실제로 여섯 개의 세제곱수의 합으로 표현해 본다.

식 2, 식 3에 의해 다음 부등식이 성립한다.

\displaystyle \begin{aligned} p^3 (4q^{18} + 2r^{18}) &  < 6p^3 q^{18} \\ & < 8n \\ & < 8p^3 q^{18} \\ & < p^3 (4q^{18} + 4(1.02r)^{18}) \\ & <  p^3 (4q^{18} + 8r^{18}) \end{aligned}

참고로 4 \times 1.02^{18} \approx 5.713 정도 된다.

여하간 따라서

\displaystyle p^3 (4q^{18} +2r^{18}) < 8n < p^3 (4q^{18}+8r^{18}) … (식 7)

이 성립하게 된다. 그 다음으로 식 4,5,6을 따로따로 적용한 congruence들

\displaystyle 8n \equiv 2p^3 r^{18} \equiv p^3 (4q^{18}+2r^{18})+18pq^6 r^6 \pmod{q^6}

\displaystyle 8n \equiv 4p^3 q^{18} \equiv p^3 (4q^{18}+2r^{18})+18pq^6 r^6 \pmod{r^6}

\displaystyle 8n \equiv 0 \equiv p^3 (4q^{18}+2r^{18})+18pq^6 r^6 \pmod{p}

를 한데 업쳐서

\displaystyle 8n \equiv p^3 (4q^{18}+2r^{18})+18pq^6 r^6 \pmod{pq^6 r^6} … (식 8)

을 얻는다. 식 1과 6에 의해 n \equiv 3p \equiv -3 \equiv 3 \pmod{6} 이므로

\displaystyle 8n \equiv 24 \pmod{48} … (식 9)

임을 알 수 있다. 또한 p, q, r은 홀수이므로 p^2 \equiv q^2 \equiv r^2 \equiv 1 \pmod{8}이 성립한다. 그러므로 식 8의 우변의 1/2을 8로 나눈 나머지는

\displaystyle p^3 (2q^{18}+r^{18})+9pq^6 r^6 \equiv (2+1)p +p \equiv 4p \equiv 4 \pmod{8}

그러므로 양변을 두 배하여

\displaystyle p^3 (4q^{18}+2r^{18})+18pq^6 r^6 \equiv 8 \pmod{16}

같은 방법으로 p \equiv q \equiv r \equiv -1 \pmod{3}이므로

\displaystyle p^3 (4q^{18}+2r^{18})+18pq^6 r^6 \equiv 0 \pmod{3}

을 얻는다. 그러므로 이 두 식을 업쳐서

\displaystyle p^3 (4q^{18}+2r^{18})+18pq^6 r^6 \equiv 24 \pmod{48} … (식 10)

를 얻는다. 즉, 식 8에서 양변의 차는 48의 배수이면서 동시에 pq^6 r^6의 배수이기도 하다. (pqr, 48)=1이므로 위 식 8, 식 9, 식 10을 업쳐서

\displaystyle 8n \equiv p^3 (4q^{18}+2r^{18}) + 18pq^6 r^6 \pmod{48pq^6 r^6}

위 식을 다시 말해서

\displaystyle \begin{aligned} 8n & = p^3 (4q^{18}+2r^{18}) + 18pq^6 + 48pq^6 r^6 u\\ & = p^3 (4q^{18}+2r^{18})+6pq^6 r^6 (8u+3)\end{aligned}

가 성립하는 정수 u가 있다는 말이다. 이 결과를 식 7에 대입하면

\displaystyle 0 < 6pq^6 r^6 (8u+3) < 6p^3 r^{18}

에서 다음을 얻는다.

\displaystyle 0 < 8u+3 < 6p^2 q^{-6}r^{12}

여기서 preliminary를 이용하면 8u+3 = x^2 + y^2 + z^2으로 표현가능하다. 8로 나눈 나머지를 홀짝성을 이용해 일일이 비교하면 간단하게 x, y, z가 모두 홀수임을 확인할 수 있고, 위 부등식 때문에 모두 pq^{-3}r^{6}보다 작은 수들이다. 즉,

\displaystyle \max\{ q^3 x , q^3 y , q^3 z \} < pr^6 … (식 11)

그리하여,

\displaystyle \begin{aligned} 8n & =  p^3 (4q^{18}+2r^{18})+6pq^6 r^6 (x^2 + y^2 + z^2 ) \\ & = (pq^6 + r^3 x)^3 + (pq^6 - r^3 x)^3 + (pq^6 +r^3 y)^3 \\ & \quad + (pq^6 -r^3 y)^3 + (pr^6 + q^3 z)^3 +(pr^6 - q^3 z)^3 \end{aligned}

가만히 보면 위 복잡한 계산은 모두 이것을 위한 밑밥인데, 어떻게 이런 식을 생각해 낼 수 있는지는 약간 의문인데, 여하간 넘어가자. 어쨌든 p, q, r, x, y, z가 모두 홀수이므로 각 세제곱은 모두 짝수이다. 또한, 식 2와 11에 의해 0 < r^3 x < q^3 x < pr^6 < pq^6, 0 < r^3 y < q^3 y < pr^6 < pq^6, 0 < q^3 z < pr^6이 성립하므로 각 세제곱은 모두 양수가 된다. 따라서

\displaystyle \begin{aligned} n & =  \left(\frac{pq^6 + r^3 x}{2}\right)^3 + \left(\frac{pq^6 - r^3 x}{2}\right)^3 + \left(\frac{pq^6 +r^3 y}{2}\right)^3 \\ & \quad + \left(\frac{pq^6 -r^3 y}{2}\right)^3 + \left(\frac{pr^6 + q^3 z}{2}\right)^3 +\left(\frac{pr^6 - q^3 z}{2}\right)^3 \end{aligned}

그러므로 원하는 결과를 얻는다.

 


[1] Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag.

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