Noetherian ring 게임

대수학을 공부했다면 알고 있을 터이지만, Noetherian ring이란 ideal의 strict ascending chain은 항상 유한단계에서 maximal에 도달하는 ring을 말한다.

그러므로 점점 더 큰 ideal로 자르면 유한단계에서 반드시 field가 된다.

여기에 착안하여 mathoverflow에서 약간 옛날 게시글이지만 흥미로운 질문을 봤다.

A Game on Noetherian Rings in mathoverflow

어떤 commutative Noetherian ring을 하나 주었을 때, 두 사람이 번갈아가며 nonzero nonunit element와 이전의 ideal로 generate되는 더 큰 ideal을 제시한다. Noetherian이므로 이 과정은 언젠가 field가 되는데, 마지막에 field를 만드는 쪽이 지는 게임이다. 과연 이 게임에 승수 전략이 있을까하는 질문이다.

근데 최초 주어진 ring의 모든 chain을 꿰뚫고 있다면, 단순히 tree를 따라 위로 올라가는 문제이므로 승수 전략이 나올 것 같긴한데, 너무 당연한가?

하지만 장기를 두는 사람이 가능한 모든 수를 다 고려하는 것은 아니니까, 장기같이 역동적인 게임이 될 가능성도 있어 보인다. ㅎ 수학과 생도끼리 하면 대수 계산연습도 되고 재밌을 듯. ㅋ

2 thoughts on “Noetherian ring 게임

  1. 링크의 댓글에 따르면 그나마 PID인 경우에는 승수 전략을 쉽게 찾을 수 있다고 하는군요.
    그런데 모든 ring에 적용되는 일반적인 승수 전략 같은 건 없을 것 같은 느낌이 드네요. 주어진 ring의 subring 중 generator가 짝수개인 field도 있을 수 있고, 홀수개인 field도 있을 수 있으니, ring에 따라서는 일단 몇 차례 진행하다가, 주어진 ideal을 포함하는 field의 종류가 몇 가지로 한정된 후에야 전략을 찾을 수 있을 듯.

    • 제 생각에는 일단 모든 chain이 파악되면 그 다음은 그냥 장기말 움직이듯이 가면 될 듯 한데, 좀 안 좋은 ring이면 모든 chain이 항상 파악되는 건 아닐 테니 어쩌면 안 될 지도 모르고요.

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