Shanks의 원주율을 추적하기

bit-player 블로그에 재미있는 포스팅이 올라와서 대충-_- 소개해본다. ㅋㅋ

The pi man in bit-player

어릴적에 수학 교양서를 참 많이 읽었는데, 거기에 원주율 계산의 역사에 관한 내용에는 컴퓨터 이전의 시대에 원주율을 손으로 계산하던 사람들 이야기가 꼭 들어 있다. 뭐 요즘에도 비트코인 마이닝을 손으로 하는 사람-_-도 있지만, 여하간 ‘computer’가 계산 기계를 의미하는 게 아니라 진짜 계산하는 사람을 의미하던 시절에, 원주율 자릿수의 정점을 찍은 사람으로 흔히 나오는 이름이 바로 영국의 아마추어 수학자 William Shanks이다.

그는 자신의 다년간의 계산이 너무 자랑스러워 비석에도 새겼다지만, 애석하게도 그가 계산한 원주율 소수점이하 707자리 중에서 소수점이하 527번째 자리부터 오차가 생기고 말았다는 이야기는 유명하다. 무려 70년 이상이나 그의 계산이 인정받았지만 (아마 아무도 검산을 하고 싶지는 않았을 것이다. ㅋㅋ) 1944년 D. F. Ferguson이라는 사람이 계산기로 검산하면서 그의 착오를 발견하였다고 한다.

그는 어떻게 계산하였을까? 물론 라이프니츠의 공식으로도 불가능하지는 않지만 대단히 비효율적이라 그건 그냥 재미로만 즐기도록 하자. ㅋ 비교적 빨리 수렴한다고 알려진 다음의 유명한 공식을 썼다고 한다.

\displaystyle \frac{\pi}{4}=4\arctan \left( \frac{1}{5}\right)-\arctan \left( \frac{1}{239}\right)

이 아크탄젠트의 테일러 전개를 이용해 유리수들의 합을 일일이 계산하면 구하는 것이 가능하다. (말은 쉽다-_-) 뭐 그밖에도 다양한 기법이 있는데, 위키피디아의 항목을 참조하시라. ㅋ

여하간 어디서 그의 계산이 잘못되었을까? 공교롭게도 1853년에 출간된 Shanks의 책에는 530자리까지의 arctan 1/5과 arctan 1/239의 각 항이 남아있지만 이후 출간된 내용에는 그 합만이 공개되어 있어 계산 착오의 이유를 확인할 수 없다고 한다. 그런데 저 블로그의 저자는 arctan 1/5의 테일러 전개에서 72번째 항에서 진짜 값과 Shanks의 값의 차를 이용해서 왠지 이런 실수를 했을 것 같다는 추정을 하고 있다. 유리수의 순환마디를 베껴쓰다가 영을 하나 빼먹은 것 같은데, (순환마디에 독특한 특징이 있다. 배수가 원래 숫자의 재배열이 되는 성질인데 1/7의 순환마디의 성질을 알고 있는 산수덕후-_-라면 알고 있을 듯.)그의 추정이 최초 에러 발견자인 Ferguson의 견해와 달라서 이상하다는 이야기가 주절주절 나오지만 여하간 이후로는 영어 울렁증-_- 때문에 읽기를 관뒀다. 켁.

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