454보다 큰 모든 자연수는 일곱개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능하다

참고로 이 글에서 말하는 ‘세제곱수’는 양수만을 가리킨다. 음수인 경우를 포함하는 이야기는 일전의 세 개의 세제곱수 포스트[1]를 참고하시라.

일전에 웨어링의 문제를 소개[2]하면서 g(3) =94 \leq G(3) \leq 7의 증명을 소개한 적이 있다. 증명의 내용이 궁금하면 시리즈 포스팅 목록[3]을 참고하기 바란다.

비록 G(3) \leq 7은 사실일 지라도 어디까지가 마지막으로 8개 이상의 세제곱수의 합으로 표현되는지는 여전히 알 수가 없다. 꽤 많은 사람이 G(3) =4 라고 믿고 있는 듯 한데, Deshouillers 등의 사람은 7,373,170,279,850(!!!) 이상의 모든 자연수는 4개의 세제곱수의 합으로 표현가능하다고 추정[4]하고 있다고 한다. 그러나 근래까지 7개의 위치도 모르고 있었는데, 작년 5월에 발표된 Samir Siksek의 결과[5]에 따르면 정확히 454 이상의 모든 자연수는 7개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능함을 보였다고 한다. 작년 5월에 나왔는데 여태 몰랐네-_-

여하간 일전에 본 블로그에서 40000이하의 자연수 중 8개 이상의 세제곱수가 필요한 17개의 자연수를 실제로 찾는 c코드를 소개한 바 있지만, 실제로는 자연수 전체를 통털어도 이 17개가 전부라는 것이다.

논문을 대충 봤는데-_- 기괴한 테크닉은 있어도 어려운 theory는 없는 듯 하다. 재귀적 알고리즘 때문에 일부 계산은 cpu타임이 10000시간(!)이 걸리는 부분도 있었던 모양이다. 컴퓨터를 1년 넘게 돌리는 동안, 정전 등의 예상치 못한 사태가 안 생긴게 다행인 듯. ㅋㅋㅋ

그나저나 G(3)의 정확한 값은 언제 확정되려나.. ㅋㅋ

 


[1] 내 백과사전 세 개의 세제곱수 2012년 6월 22일
[2] 내 백과사전 웨어링의 문제 2011년 2월 11일
[3] 내 백과사전 시리즈 포스팅 목록
[4] J.-M. Deshouillers, F. Hennecart, and B. Landreau. (2000) “7 373 170 279 850”. Math. Comp., 69(229): 421–439.
[5] Samir Siksek (2015) “Every integer greater than 454 is the sum of at most seven positive cubes”, arXiv:1505.00647 [math.NT]

2 thoughts on “454보다 큰 모든 자연수는 일곱개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능하다

답글 남기기

아래 항목을 채우거나 오른쪽 아이콘 중 하나를 클릭하여 로그 인 하세요:

WordPress.com 로고

WordPress.com의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Twitter 사진

Twitter의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Facebook 사진

Facebook의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

Google+ photo

Google+의 계정을 사용하여 댓글을 남깁니다. 로그아웃 / 변경 )

%s에 연결하는 중